Aniq integralni hisoblash. Reja

Aniq integralni hisoblash.


Reja:
1. Figralar yuzalarini Dekart va qutb koordinatalarida hisoblash.
2.Egri chiziq yoyining uzunligini Dekart va qutb koordinatalarida hisoblash.
3. Jism hajmini parallel kesimlarning yuzalari bo’yicha hisoblash.
4. Aylanma jismning hajmi.
5. Ishni va jismlarni inersiya momentini aniq integral yordamida hisoblash.


Tayanch so’z va iboralar: egri chiziqli trapesiya, kesmada integral musbat va manfiy, funksiyani parametrik shakli, Dekart koordinalari, qutb koordinatalari, yoy uzunlgi, markaziy burchak, doiraviy sektor, siniq chiziq, integral yig’indi, o’tish formulalari, parametrik shakldagi tenglama. Perpendikulyar tekislik, qismiy oraliq, kesim konturi, silindrik jism, aylanma jism, moddiy nuqta, bajargan ish, inersiya momenti, koordinata bosimiga nisbatan inersiya momenti, sirt zichligi, sterjen, bir jinsli doira, kuchning yo’nalishi, Guk qonuni.


1. Figuralar yuzalarini Dekart va qutb koordinatalarida hisoblash
1. a) Bizga ma’lumki, agar kesmada uzlusiz bo’lgan bo’lsa, u holda egri chiziq o’qi va hamda to’g’ri chiziqlar Bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyaning yuzi
(1)
bilan hisoblanar edi. Agar kesmada bo’lsa, u holda aniq integral bo’ladi. Absolyut qiymatiga ko’ra bu integralning qiymati ham tegishli egri chiziqli trapesiyaning yuziga teng: (1’)

1-shakl
Agar funksiya kesmada ishorasini chekli son marta o’zgartirsa, u holda integralni butun kesmada qismiy kesmachalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajaratamiz. Bo’lgan kesmalarda integral musbat, bo’lgan kesmalarda integral manfiy bo’ladi. Butun kesmalar bo’yich olingan o’qidan yuqorida va pastda yotuvchi yuzalarning tegishli algebraik yig’indsini beradi. (2-shakl). Yuzalar yig’indisini odatdagi ma’noda hosil qilish uchun yuqorida ko’rsatilgan kesmalar bo’yicha olingan integrallar absalyut qiymatlari yig’indisini topish yoki integralni hisoblanadi.
b) Agar va egri chiziqlar hamda va to’g’ri chiziqlar bilan chegarlangan figurani yuzini hisoblash kerak bo’lsa, u holda shart bajarilgan figuraning yuzi quyidagiga teng:
(2)
1-misol. chiziqlar bilan chegaralangan yuzani oraliqda hisoblang.
Yechish: Shaklini yasaymiz.
Formulga asosan va da hamda


da bo’lagni uchun

2-shakl.

kv.b.
Demak, kv.b.


2-misol. va chiziqlar bilan chegaralanagan figuraning yuzi hisoblansin.
Yechish: Figurani yasash uchun avval, ushbu sistemani yechib, chiziqlarni kesishish nuqtalarini topamiz.

Bu chiziqlar va nuqtalarda kesishadi. U holda (2) formulaga asosan
kv.b.
g) Agar egri chiziqli trapesiya hosil qiluvchi chiziqlar parametrik shaklidagi tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, bunda bu tenglamalar kesmadagi biror funksiyani aniqlaydi, bunda va . U holda egri chiziqli trapesiyani yuzini formula bilan hisoblash mumkin bo’ladi.
Bu integralda o’zgaruvchini almashtramiz , ,
bo’lganligidan .
Bu formula chiziq parmetrik shakldagi tenglamasi bilan berilganda egri chiziqli trapesiyani yuzini hisoblash formulasidir.
3-misol. ellips bilan chegaralangan sohaning yuzi hisoblansin.
Yechish. Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni 2ga ko’paytirmiz uchun . ni topamiz, u holda formulaga asosan, kv.b.
2. egri chiziq qutb koordinatalarida formula bilan berilgan va funksiya kesmada uzluksiz bo’lsin.

Ushbu egri chiziq va qutb o’qlari bilan va burchak hosil qiluvchi 2ta nurlar bilan chegaralanagan egri chiziqli sektorni yuzini hisoblaymiz. Buning uchun berilgan yuzani nurlar bilan -ta ixtiyoriy qismlarga bo’lamiz. O’tkazilgan nurlar orasidagi burchaklarni bilan belgilaymiz. Bilan orasidagi biror burchakka mos nurning uzunlgini orqal belgilaymiz. Radiusi va markaziy burchak bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzi ga teng bo’ladi. U holda ushbu yig’indi
Zinapoyasimon sektorni yuzini beradi. Bu yig’indi kesmada funksiyaning integral yig’indisi bo’lganlgi sababali, uning limiti da aniq integralga teng. Bu burchak ichidagi qanday nur olishimizga bog’liq emas. Demak, sektorning yuzi formula bilan topilar ekan.
4-misol. kardoida bilan chegarangan figuraning yuzini hisoblang.
Yechish: Kardioridani shaklini yasaymiz.

Formulaga asosan

Demak, karoidaning yuzi kv.b.