Aniq integralni hisoblash. Reja

3. Jism hajmini parallel kesimlarning yuzalari bo’yicha hisoblash

Biror jism berilgan bo’lsin. Bu jismni o’qqa perpendikulyar tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan har qanday kesimni yuzi ma’lum deb faraz qilamiz. Bu holda yuza kesuvchi tekislikning vaziyatiga bog’liq, ya’ni ning funksiyasi bo’lsin .

ning oraliqda uzluksiz funksiya deb qarab, berilgan jism hajmini aniqlaymiz. Shu maqsadda oraliqda tekisliklarni o’tkazamiz. Har bir qismiy oraliqda ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz va ning har bir qiymati uchun yasovchi lar o’qiga parallel bo’lib, yo’naltruvchisi jismni tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan kesimning konturidan iborat bo’lgan silindrik jism yasaymiz. Asosining yuzi ga, balandligi bo’lgan bunday elementar silindrning hajmi ga teng. Hamma silindrning hajmi bo’ladi. Bu yig’indidan dagi limitni hisoblasak, bu limit berilgan jismning hajmiga teng bo’ladi. . miqdor kesmada uzluksiz fuknsiyaning integral yig’indisidir, shuning uchun bu limit mavjud va u, aniq integral bilan hisoblanadi.
1-misol. ellipsoidning hajmi hisoblansin.
Yechish: Ellipsoidning teksilikka parallel bo’lib, undan masofa uzoqlikdan o’tgan tekislik bilan kesganda yarim o’qlari bo’lgan

ellips hosil bo’ladi. Bu ellipsning yuzi . U holda, ellipsoidning hajmi formulaga asosan kub b.g teng bo’ladi.


4. Aylanma jismning hajmi


egri chiziq, o’q va to’g’ri chiziqlar bilan chegaralngan egri chiziqli trapesiyaning o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jismni qaraylik. Bu jismni abssissalar o’qiga perpendikulyar tekislik bilan kesishdan hosil bo’lgan ixtiyoriy kesma doira bo’ladi. Uning yuzi . Hajmni hisoblash umumiy formlani qo’llab, aylanma jismning hajmini hisoblash formulasi
(13)
ni hosil qilamiz. Xuddi shuningdek o’q atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jism hajmi
(14)
topiladi.
2-misol. ellipsning va o’qlari atrofida aylantirish natijasida hosil bo’lgan jismlarning hajmini hisoblang.
Yechish: Ellips tenglamasidan , topamiz va formulalarni qo’llab
.
Demak, (kub b.). Endi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jismni hajmini topamiz
.
Demak, (kub b.).