3-Ma’ruza: Markaziy limit teorema. Lyapunov teoremasi. Reja

3-Ma’ruza: Markaziy limit teorema. Lyapunov teoremasi.

Reja.
1. Markaziy limit teorema.
2. Lyapunov teoremasi.

Tayanch so’z va iboralar: markaziy limit teorema, Lyapunov teoremasi.

Markaziy limit teorema

Markaziy limit teorema t.m.lar yig‘indisi taqsimoti va uning limiti – normal taqsimot orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan t.m.lar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.

Teorema. bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bo‘lsin, u holda t.m.ning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi

. (1)

Demak, (11) ga ko‘ra yetarlicha katta n larda , yig‘indi esa quyidagi normal qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi:

. Bu holda t.m. asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
Agar X t.m. uchun bo‘lsa X t.m. markazlashtirilgan va normallashtirilgan(yoki standart) t.m. deyiladi.

(1) formula yordamida yetarlicha katta n larda t.m.lar yig‘indisi bilan bog‘liq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin. t.m.ni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda

yoki
. (2)

1-misol. bog‘liqsiz t.m.lar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bo‘lsa, t.m.ning taqsimot qonunini toping va ehtimollikni hisoblang.

Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y t.m.ning zichlik funksiyasi bo‘ladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan , bo‘ladi. U holda
, shuning uchun, . (2) formulaga ko‘ra,

Misollar

1. 
   

   P

   Bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan t.m.lar ketma-ketligining taqsimot qonuni berilgan
   

Bu ketma-ketlik K.S.Q. bo‘ysunadimi?

2. 
   Bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan t.m.lar ketma-ketligining taqsimot qonuni berilgan
   

		0
P

Bu ketma-ketlik K.S.Q. bo‘ysunadimi?

3. 
   

   	0.1	0.4	0.6
   P	0.2	0.3	0.5

   Diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan:
   

Chebishev tengsizligidan foydalanib ni baholang.

4. bog‘liqsiz t.m.lar ketma-ketligi quyidagi taqsimotga ega bo‘lsin: , . Bu t.m.lar uchun K.S.Q. o‘rinlimi?
5. Detalning nostandart bo‘lish ehtimolligi 0.2 ga teng. 400 ta detaldan iborat partiyada nostandart detal chiqishning chastotasi va ehtimoli orasidagi farqning moduli 0.05 dan kichik bo‘lishini ehtimolligini baholang.
6. Chebishev tengsizligidan foydalanib, quyidagi ehtimollikni baholang:
simmetrik tanga 500 marta tashlanganda gerb tushushlari soni k uchun o‘rinli.

Savollar
1.Umumiy nom bilan katta sonlar qonuni deb yuritiladigan teoremalarda nima haqida so‘z yuritiladi?
2.Chebishev tengsizligi haqida nima bilasiz?
3.Markov tengsizligini yozing?
4. Chebishevning katta sonlar qonuni nimani ta’kidlaydi?
5.Katta sonlar qonunining mohiyati nimada va uning amaliy ahamiyati qanday?
6.Bernullining katta sonlar qonuni nimani ta’kidlaydi?
7.Markaziy limit teoremada nima haqida so‘z yuritiladi?