Aniq integralni hisoblash. Reja

5. Ishni va jismlarni inersiya momentini aniq integral yordamida hisoblash

Biror kuch ta’siri ostida moddiy nuqta to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilsin, bunda kuchning yo’nalshi harakat yo’nalshi bilan bir xil bo’lsin. nuqta holatdan holatga ko’chganda kuchning bajargan ishi topilsin.

1) Agar kuch o’zgarmas bo’lsa, u holda ish kuch bilan o’tilgan yo’l uzunligi ko’paytmasi bilan ifodalanadi
2) kuch moddiy nuqtaning olgan o’rniga qarab uzluksiz o’zgarsin, ya’ni kesmada uzluksiz funksiyani ifodlasak, u holda kesmani uzunliklari bo’lgan -ta ixtiyoriy bo’lakka bo’lamiz va har bir qismiy kesmada ixtiyoriy nuqta tanlab olamiz. Kuchning yo’lida bajargan ishini ko’paytma bilan almashtiriamiz. Oxirgi ifoda yetarlicha kichik bo’lganda kuchning yo’lida bajarilgan ishning taqribiy qiymatini beradi:

Bu yig’indidan da limiti kuchning nuqtadan nuqtgacha bo’lgan yo’lda bajargan ishini ifodalaydi va formula bilan hisoblanadi.
3-misol. Agar prujina 1 N kuch ostida 1 sm cho’zilishi ma’lum bo’lsa. Uni 4 sm cho’zish uchun qancha ish bajarish kerak?
Yechish: Guk qonuniga ko’ra prujinani m ga cho’zuvchi kuch bilan topiladi. Agar 0,01 m va 1 N ekanlgini hisobga olsak, u holda kelib chiqadi, bundan ga muvoffiq (J) ga teng bo’ladi.
3) tekislikda massalari bo’lgan
moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin. Mexanikadan bizga ma’lumki, moddiy nuqtalar sistemasining nuqtaga nisbatan inersiya momenti: bunda .
Faraz qilaylik, egri chiziq moddiy chiziqdan iborat bo’lib, u tenglama bilan berilgan bo’lsin. Egri chiziqni chiziqli zichligi ga teng bo’lsin. Bu chiziqni uzunliklari bo’lgan ta bo’laklarga bo’lamiz, bunda ularning massalari , , ..., bo’lsin. Yoylarning har bir qismida abssissasi va ordinatasi bo’lgan nuqtalar olamiz. Yoyning nuqtaga nisbatan inersiya momenti . Agar funksiya va uning hosilasi uzluksiz bo’lsa, u holda da yig’indi limitga ega va bu limit moddiy chiziqning inersiya momentini ifodalaydi:

4) Uzunligi bo’lgan ingichka bir jinsli tayoqchaning (sterjenning) oxirgi uchiga nisbatan inersiya momenti. Tayoqchani o’q kesmasi bilan ustma-ust joylashtiramiz, .

U holda bo’lib, formuladan Agar tayoqchani massasi berilgan bo’lsa, u holda va formulaga ko’ra
5) Radiusi bo’lgan aylananing markazga nisbatan inersiya momenti. Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan bir xil masofada bo’lgan va massasi uchun aylananning inersiya momenti
bo’ladi.
6) Radiusi bo’lgan bir jinsli doiraning markaziga nisbatan inersiya momentini topish uchun doirani ta xalqalarga ajratamiz. –doira yuzi birligini massasi bo’lsin. Bitta xalqani olib qaraymiz. Bu xalqning ichki radiusi tashqi rdiusi bo’lsin, massasi ga teng bo’ladi. Bu massani markazga nisbatan inersiya momenti formulaga asosan ga teng. Bu doiraning inersiya momenti

. Bundan da limitga o’tsak formulani hosil qilamiz. Agar doiraning massasi bo’lgan bo’lsa, u holda sirt zichligi -quyidagiga teng . Buni ga qo’ysak, bo’ladi.