Asosiy qism

Chegaraviy masalalarning qo‘yilishi.
Differensial tenglamalarning xususiy yechimlarini izlaganda Koshi masalasi bilan birga boshqa chegaraviy deb ataluvchi masalalalarni ko‘rib chiqishga to‘g‘ri keladi. Bunday masalalarga noma'lum funksiya qiymatlari bir nuqta emas intervalning ikki yoki undan ko‘p nuqtalarida berilishi mumkin.
Misol. Massasi m bo‘lgan moddiy nuqta F( t,r,r ) kuch ta'sirida harakatga keltirgan bo‘lsin. Harakat qonunini aniqlash talab qilinadi. Agar boshlang‘ich t = t ₀ momentda uni o‘rni r = r₀ da bo‘lib, t = t_x momentda esa r = r₁ da bo‘lsa, (r bunda M nuqtaning radius vektori ) Masala ushbu
d²r _
^mdt^ = F( t’^r,r )
differensial tenglamaning r ( t₀) = r₀,r( t₁ ) = r₁ chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini izlashga keltiriladi.
Ikkinchi tartibli differensial tenglamani qaraymiz: y" = /(%,y,y')
Eng sodda chegaraviy masala bu tenglama uchun ushbu ko‘rinishda bo‘ladi:

1. 
   Misol. Quyidagi у" + y = 0 ; у(0) = 1 <У (“) = 0 chegaraviy masalani yeching.
   

Yechilishi: Berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimining shakli:
у = c_x cos x + c₂ sin x, bunda ixtiyoriy o‘zgarmaslar. Chegaraviy shartlarni qo‘yib, larni topamiz. Birinchi
shartdan , ikkinchisidan .
Izlangan yechim
у = с о s x (0 < x < —).

2. 
   Misol. Ushbu tenglamaning, chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan
   

yechimini toping:
Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi
у = c_x cos x + c₂ sin x,
Birinchi chegaraviy shartda da . Bundan Ikkinchi shartga ko‘ra, da
У = -1
.
Demak, ixtiyoriy o‘zgarmas. Shunday qilib, chegaraviy masala yechimi cheksiz ko‘p va u quyidagi formula orqali ifodalanadi:
у = c₂ sin x + cos x

3. 
   Misol. Ushbu chegaraviy masala yechimi
   

bo‘lmasligini ko‘rsating.
Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi , Berilgan shartlarni yechimga qo‘yamiz:
c_x cos 0 + c₂ sin 0 = 1 i _
}

с_х * 1 + с₂ * 0 = Г)
}
Sistemaning birinchi tengligidan , ikkinchisidan bo‘layapti. Xulosa, chegaraviy masalani qanoatlantiruvchi yechimi yo‘q. Bu holda chegaraviy masala nokorrekt qo‘yilgan deyiladi.
Yuqorida eng oddiy chegaraviy masalalarni ko‘rdik. Unda berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi ma'lum edi. Biz berilgan shartlardan foydalanib, ixtiiyoriy o‘zgarmaslar qiymatini aniqladik, shu bilan chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimlarni topib oldik. Ayniqsa, matfizika masalalarini yechishda ancha murakkab hollar ham bo‘ishi mumkin.
Chiziqli chegaraviy masala.
Yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar nazariyasida n-tartibli chiziqli tenglamalar alohida o‘rin tutadi. Buning sababi chiziqli differensial tenglamalar nazariyasi har tomonlama chuqur o‘rganib chiqqan, yechim metodlari mavjud va chiziqli tenglamalar fizika, mexanika, texnikada keng tadbiq qilinadi. Injinerlik amalida tez-tez differensial tenglamaning biror kesmada u yoki bu shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini izlashga to‘g‘ri keladi. Bunga misol oldin ko‘p marotaba ko‘rgan Koshi masalasi bo‘ladi. Koshi masalasining o‘ziga xos talabi shu ediki, noma'lum funksiya va uning tagacha hosilalarining qiymati bitta nuqtada berilgan edi. Vaholanki ba'zi fizik, texnik masalalarni yechishda shu jarayonni tasvirlovchi chiziqli differensial tenglamalarning boshlang‘ich shartlar kesmaning bir nechta nuqtalarida berilgan yechimlarini izlashga to‘g‘ri keladi.
Chegaraviy masala chiziqli deyiladi, agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli berilgan bo‘lsa. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama va chegaraviy shartlar ushbu ko‘rinishda o‘lishi mumkin:
(3) ay(a)+0y'(a)=A] /дх
} (4)
bu yerda berilgan o‘zgarmaslar.
Chiziqli chegaraviy masala (3) , (4) bir jinsli chegaraviy masala deyiladi, agar
bo‘lsa.
Bir jinsli chegaraviy masala.


(5)
(6)
Biz
Chiziqli bir jinsli chegaraviy masalani qaraymiz:
f(x)y" + д(х)у' + /i(x)y = 0 ,а < х < b
ау(а)+/?у'(а)=0'|
}
bu yerda lar lar uchun uzluksiz funksiyalar bo‘lsin.
Faraz qilaylik, | | | | va | | | | trivial yechim. yechimlarni izlaymiz.
Aytaylik berilgan differensial tenglamaning yechimlar fundamental sistemasi bo‘lsin.unda umumiy yechim ushbu formula orqali ifodalanadi:
(7) (6) chegaraviy shartlarga (7) ni qo‘yamiz:

KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y¹”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ ^f I 5
= e = e^{ln x} = x 5
к ^a ) 5
^J p^(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
^xk = ^xk+1 ^{- x}k = = - 9
Shturm teoremasi 11
^P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
^f ' dx + c₂ 22
^d f p^{( x) dy} V q^{( x)} у =⁰ 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24

Yuqoridagi (8) sistema larga nisbatan chiziqli bir jinsli algebraik sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun, ushbu tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.

д=

(9)
ау1(а) +/3ь(а)ау₂(а) + ^у₂(а)
УУ1(Ь) + бу i(b)yy₂(b) + <5y₂(b)
Shunday qilib, (5), (6) chegaraviy masalaning noldan farqli yechimi mavjud bo‘lishi uchun (9) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.

4. 
   Misol. Bir jinsli chegaraviy masalani yeching:
   

у"-у = О,у(О) = у(1) = О
Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi у(х) = с₁е^х + с₂е~^х
Chegaraviy shartlarni qo‘yamiz:
q + с₂ = О |
}
11 11 1-е²
Д = | _ ■, | = е ¹ — е = Ф О
1е е ^Х1 е
Sistema yechimi . Unda faqat yechim mavjud.