II. ASOSIY QISM. "Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslach teoremasi.Chegaraviy
masalalar. Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material Ma'lumki ikkinchi tartibli bir jinsli y" + P1(x) y' + P2(x) y = 0 (1) tenglamaning bitta y1( x) xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, uning umumiy yechimi
У= У1
j c1£-j pi( x)dx
y12
dx + C2
formula bilan aniqlanar edi. Bunda P1(x) ва P2(x) lar ko'rilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.
KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y1”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ f I 5
= e = eln x = x 5
к a ) 5
Jp(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
xk = xk+1 - xk = = - 9
Shturm teoremasi 11
P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
f ' dx + c2 22
d f p( x) dy V q( x)у =0 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24
bundan kurinadikim, o'ziga qo'shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir. Xossa1 Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio'zigaqo'shmabo'lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin. P0(x) У"+р1(х)У'+P2(x)У= 0 (3) differensial tenglama berilgan bo'lsin. Po(x) Ф0. (3) tenglamaning xar ikkala tomonini p(x) ga ko'paytirganda,yo'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga aylansin, ya'ni quyidagi shart bajarilsin. (PP0) ' = PP1 Bundan p'Pp - pP{}= p, p' P0 = p (P1 - P0) dP = pL-pi dx = - P0^x> dx+P(x) dx p р0 р0( x) р0( x) integrallasak
bunda
ln p = — ln Po + IPX') dx + C, C = 0 oPo(x) , pS»* ц= _L_e po<x) P>( x) fP1( x) 1 J P° (x) e °(Po(x) P^ dx
d_ f I dx
P0(x)
dx i | dx y" + Pl(x)-^e '' P0(x) „ , \ I—dx + W eJ Px)y =о Po( x) Л
P ( x ) dx +ш e '' y=о P0(x)
к
ax j Po( x) dy dx I ) Idx p(x) = e Po(x)
(6)
|S™. dx q(x)=Pxe Po(x) Po( x) deb olsak (2) tenglamaga ega bo'lamiz (6) dan ko'rinadikim p(x) > 0. Misol-1Bessel tenglamasini o'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga keltiring. x2y” + xy' + (x2— n2) y = 0 Bu yerda po (x) = x2p1(x) = x p2 (x) = x2- n2 J PL(x) dx p(x) = e Po(x)= e x : dx po(x)
P2(x)
\^Xdx
dx = e = eln x = x
q( x) = e p0(x) c
2 2 2 x - n n - x = x x2x
dfxdy dxк dx )
x— I + x y = 0
к a ) Bu Bessel tenglamasiga qo'shma bo'lgan differensial tenglamadir. Xossa 2.Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio'zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt y""+Q(t)y =o Ko'rinishga keltirish mumkin. Bunda Q(t) g C(I) I = (a; b) Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o'ziga qo'shma xolga keltirilgan bo'lsin. dк p( x) d V q( x) y = 0 dxк dx )
(8)
(9)
Bunda
dx t = I Jp(x)
Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan
p(x) Ф0, p(x) > 0bo'lgani uchun
dt dx
1
P( x)
> 0ga ega bo'lamiz.
Bundan t o'zgaruvchi ning monotan o'suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi. Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida interavalda aniqlanadi. dy dy dt 1 dy desak— = = bajariladi. dx dt dx p( x) dt U xolda d(p^] = ^[p(x)'d 'd ' d&] (11) dx dx) dt p(x) dt) dx p(x) dt dt) (11) ga asosan (9) \ — | + q( x) y = 0 (10)ni e'tiborga olsak keyingi tenglamani p(x) dt dt) d2y + Q(t) y = 0 dt2 ko'rinishda yoza olamiz. Bunda Q(t) = p(p(t ))q(^(t)) Misol-2xy" + i y’ - y = 0
dx р = 1£ 1x
x
1 1ln(x) = — e1
1 1 Off1 Or X2y ■ X2y - X 2
dx
1 A x 2 dy dx к 7
-x
—2 -У =0^1,2 = i1 dt2 1,2 -t . t -2y[x, -Hx y — C1e + C2e — C1e + C2e Xossa 3.Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida. z” +1 (x) z = 0
ko'rinishga keltirish mumkin.
y" + p( x) y' + q(x) y = 0 (12)
tenglamada y = u(x) z
(13)
almashtirishni olamiz. Bundan
y = uz ■ u z y = uz ■ 2u z ■ u z
Bu qiymatlarni (12) ga qo'ysak
uz" + 2u z ' + u" z + p( x)(uz' + u' z) + q(x}uz = 0
uz ■ (2u ■ p(x)u) z ■ (u ■ p(x)u ■ q(x)u)z = 0
(14)
z" ■ | ■ p(x) |z' + — (u" + p(x)u' + q(x)u)z = 0 к u 7 u
2 -1J p( x)dx 1 о -1J P( x)dx 1 2 + —p2(x)e2 Bu qiymatlarni (14) ga qo'ysak 1j p( x)dx z” + e 2 i -1 J p(x)dx i , -1 J P(x)dx C i A -1 J p(x)dx -1 J p(x)dx 1 p’(x)e 2' +1 p2(x)e2' + p(x{-1 p(x)\e 2 + q(x)e 2J
z " +1 (x) z = 0 z" + (q( x) -1 p'(x) -1 p2 (x))z i = q( x) -1 p'(x) -1 p2( x) Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi. c Agar invariant o'zgarmas songa yoki I = ko'rinishga ega bo'lsa u holda ikkinchi (x + a)1 tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o'zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
y"
q(x) = 1;
I=2
p( x) = - x I" 7> 1111 ’Л,2 = '7
1 4=1 x2x2 z = qcos x + C2sin x
-1J 2dx u=e2 x
= e~ln x=1 x
y = uz =1(c1cosx + c2sin x) x 1 2 Misol-3 xy" + 2 y' + xy = 0
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi
yechimlari. Taqqoslash teoremasi Koeffisiyentlari o'zgarmas bo'lgan, ikkita ikkinchi tartibli y"- a2y = 0 (1) y" + a2y = 0 (2) differensial tenglamalar berilgan bo'lsin. Bunda a = cos t Ma'lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y1= e-ax, y2= eax dan iborat bo'lib Uning umumiy yechimi y = C1eax + C2eax dan iborat. Uning nolini topamiz
-ax . ax n су+ C2e = 0 a > 0 c— < 0
2ax Cl + C2e = 0
g2ax _ c1 c2
2ax = ln - —1 c2
1 c1 x = — ln —1 2a
—1
—2
(-, ) da bittadan ortiq nolga ega emas.
ya'ni (1) tenglamaning yechimi
(1) tenglamaning umumiy yechimi y = qcosax + —2 sin ax = Asin(ax + p) ning nolini topamiz: A sin(ax + p) = 0 axk + p = nk nk p n(k +1) nk n xk = xk+1 - xk = = - a a a a a ya'ni (2) tenglama (-<», ) oraliqdacheksizko'pnollargaegabo'lib, n ketikkitanolorasidagamasofa — gateng. a
ketma-
n Uzunligi dankattabo'lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechimmmgbittanoliyetadi, a 2n uzunligi — dankattabo'lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi. a