Asosiy qism



Yüklə 71,86 Kb.
səhifə2/5
tarix03.06.2022
ölçüsü71,86 Kb.
#60558
1   2   3   4   5
grin

II. ASOSIY QISM.
"Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslach teoremasi.Chegaraviy
masalalar. Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material

Ma'lumki ikkinchi tartibli bir jinsli
y" + P1(x) y' + P2(x) y = 0 (1)
tenglamaning bitta y1( x) xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, uning umumiy yechimi





У = У1

j c1£-j pi( x)dx

y12

dx + C2




formula bilan aniqlanar edi. Bunda P1(x) ва P2(x) lar ko'rilayotgan oraliqda uzluksiz
funksiyalardir.

KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y1”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ f I 5
= e = eln x = x 5
к a ) 5
J p(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
xk = xk+1 - xk = = - 9
Shturm teoremasi 11
P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
f ' dx + c2 22
d f p( x) dy V q( x) у =0 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24

bundan kurinadikim, o'ziga qo'shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1 Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio'zigaqo'shmabo'lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
P0(x) У"+р1(х) У'+P2(x) У = 0 (3)
differensial tenglama berilgan bo'lsin. Po(x) Ф 0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini p(x) ga ko'paytirganda,yo'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga aylansin, ya'ni quyidagi shart bajarilsin.
(PP0) ' = PP1
Bundan p'Pp - pP{} = p, p' P0 = p (P1 - P0)
dP = pL-pi dx = - P0^x> dx+P(x) dx
p р0 р0( x) р0( x)
integrallasak


bunda


ln p = — ln Po + IPX') dx + C, C = 0 o Po(x)
, pS»* ц = _L_e po<x)
P>( x)
fP1( x)
1 J
P° (x) e
°( Po(x)
P^ dx


d_ f I
dx


P0(x)


dx i | dx
y" + Pl(x)-^e ''
P0(x)
, \ I—dx
+ W eJ Px) y = о
Po( x) Л


P ( x ) dx
+ш e '' y=о
P0(x)


к
ax j
Po( x) d
y dx I
)
Idx p(x) = e Po(x)


(6)


| S™. dx q(x)=Pxe Po(x)
Po( x)
deb olsak (2) tenglamaga ega bo'lamiz (6) dan ko'rinadikim
p(x) > 0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga keltiring.
x2 y” + xy' + (x2 n2) y = 0
Bu yerda po (x) = x2 p1(x) = x p2 (x) = x2 - n2
J PL(x) dx p(x) = e Po(x) = e x
: dx
po(x)


P2(x)


\^Xdx


dx
= e = eln x = x


q( x) = e
p0(x)
c


2 2 2
x
- n n
- x = x x2 x


d fxdy dx к dx )


x— I + x y = 0


к a )
Bu Bessel tenglamasiga qo'shma bo'lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio'zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt y""+Q(t)y =o
Ko'rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t) g C(I) I = (a; b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o'ziga qo'shma xolga keltirilgan bo'lsin. d к p( x) d V q( x) y = 0 dx к dx )


(8)


(9)


Bunda


dx
t = I
J p(x)


Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan



p(x) Ф 0, p(x) > 0bo'lgani uchun




dt
dx

1
P
( x)

> 0ga ega bo'lamiz.



Bundan t o'zgaruvchi ning monotan o'suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi.
Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
interavalda aniqlanadi.
dy dy dt 1 dy
desak— = = bajariladi.
dx dt dx p( x) dt
U xolda d(p^] = ^[p(x)'d 'd ' d&] (11)
dx dx) dt p(x) dt) dx p(x) dt dt)
(11) ga asosan (9) \ — | + q( x) y = 0 (10)ni e'tiborga olsak keyingi tenglamani
p(x) dt dt)
d2y
+ Q(t) y = 0
dt2
ko'rinishda yoza olamiz.
Bunda Q(t) = p(p(t ))q(^(t))
Misol-2 xy" + i y’ - y = 0





















dx
р = 1 £ 1x
x


1 1ln(x)
= — e1

1 1
Off1 Or
X
2 yX 2 y - X
2

dx

1 A
x
2 dy dx
к 7

-x

2 - У = 0 ^1,2 = i1
dt2 1,2
-t . t -2y[x, -Hx
y — C1e + C2e — C1e + C2e
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z” +1 (x) z = 0

ko'rinishga keltirish mumkin.
y"
+ p( x) y' + q(x) y = 0 (12)

tenglamada y = u(x) z

(13)

almashtirishni olamiz. Bundan
y
= uzu z y = uz ■ 2u zu z

Bu qiymatlarni (12) ga qo'ysak
uz"
+ 2u z ' + u" z + p( x)(uz' + u' z) + q(x}uz = 0

uz(2up(x)u) z(up(x)uq(x)u)z = 0

(14)

z" ■ | ■ p(x) |z' + — (u" + p(x)u' + q(x)u)z = 0
к u 7 u

u( x) ixtiyoriyfunksiyabo'lganiuchununishundaytanlabolamizkim

2u
p(x) = 0
u

bajarilsin.

du
u

u =e 2

bundan

i — J p(x)dx
u' = -—p(x)e 1




1 P( x)dx


1 1

  1. x 2 = x~ 2

2
-1J p( x)dx 1 о -1J P( x)dx
1 2 + —p2(x)e 2
Bu qiymatlarni (14) ga qo'ysak
1 j p( x)dx
z” + e 2
i -1 J p(x)dx i , -1 J P(x)dx C i A -1 J p(x)dx -1 J p(x)dx
1 p’(x)e 2' +1 p2(x)e 2' + p(x{-1 p(x)\e 2 + q(x)e 2J


z " +1 (x) z = 0
z" + (q( x) -1 p'(x) -1 p2 (x))z i = q( x) -1 p'(x) -1 p2( x)
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi.
c
Agar invariant o'zgarmas songa yoki I = ko'rinishga ega bo'lsa u holda ikkinchi
(x + a)1
tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o'zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.









y"

q(x) = 1;

I=2

p( x) = - x
I" 7> 1111
Л,2 = '7

1 4=1
x
2 x2
z = qcos x + C2sin x

-1J 2 dx
u=e 2 x

= e~ln x = 1
x

y = uz = 1(c1cosx + c2sin x)
x 1 2
Misol-3 xy" + 2 y' + xy = 0


Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi
yechimlari. Taqqoslash teoremasi

Koeffisiyentlari o'zgarmas bo'lgan, ikkita ikkinchi tartibli y"- a2 y = 0 (1)
y" + a2y = 0 (2)
differensial tenglamalar berilgan bo'lsin.
Bunda a = cos t
Ma'lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y1 = e-ax, y2 = eax dan iborat bo'lib
Uning umumiy yechimi y = C1eax + C2eax dan iborat.
Uning nolini topamiz

-ax . ax n
су + C2e = 0
a > 0 c— < 0



2ax
C
l + C2e = 0


g2ax _ c1
c2


2ax = ln - 1
c2


1 c1
x = — ln —1 2a


1


2


(-, ) da bittadan ortiq nolga ega emas.


ya'ni (1) tenglamaning yechimi
(1) tenglamaning umumiy yechimi y
= qcosax + 2 sin ax = Asin(ax + p) ning nolini topamiz:
A sin(ax + p) = 0 axk + p = nk
nk p n(k +1) nk n
xk = xk+1 - xk = = -
a a a a a
ya'ni (2) tenglama (-<», ) oraliqdacheksizko'pnollargaegabo'lib,
n
ketikkitanolorasidagamasofa — gateng.
a


ketma-


n
Uzunligi dankattabo'lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechimmmgbittanoliyetadi, a
2n
uzunligi — dankattabo'lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a

Yüklə 71,86 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin