Asosiy qism

6.4. Do`st sonlar.
Pifagordan do`st nima deb so`raganlarida, «do`stim — mening o`zim. Bu 220 va 284 larning do`stligi» deb javob bergan ekan.
Bu sonlarning «do`st» ligi nimadan iborat, degan savol­ga javob beraylik.
Arab matematigi Sobit ibn Korra (826-901 yillar) do`st sonlarni hosil qilish qoidasini bergan edi. Keyin­chalik bu qoidani Ferma qaytadan takrorlab, Dekart 1638 yilda nashr etgan edi.
Agar m va n sonlar uchun birining barcha xos bo`luvchilari yig`indisi ikkinchisiga teng bo`lsa, ya`ni (m)= (n) bo`lsa, ular do`st sonlar deb ataladi. Bunda sonning o`zi bo`luvchi sifatida qabul qilinmaydi.
Masalan,
220=1+2+4+71+142 (1, 2, 4, 71 va 142 lar 284 ning xos bo`luvchilari).
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+100, o`ng tomondagi qo`shiluvchi-lar 220 ning xos bo`luvchilaridir.
Demak, 220 va 284 lar — do`st sonlar.
Agar m va n do`st sonlar bo`lsa, u holda m=2<sup></sup>p; n=2<sup></sup>ql bo`lishi kerakligi isbotlangan. Bunda  — natural son, p, q, l — tub sonlar bo`lib, p=(2k+1)<sup>2</sup>2<sup>2-k</sup>-1; q=2<sup>-1</sup>+2<sup>+k</sup> larga teng bo`lishi kerakligi ham isbotlangan.Bu formulani Sobit ibn Korra ishlab chiqqan.
Agar k=1 deb olinsa, p, q, l tub sonlar uchun p=3²2^2-1-1, q=32^-1-1, l=32^-1 larni hosil qilamiz.  ga har xil qiymatlar berib, k=1 uchun quyidagi jadvalni tuzish mumkin:

	p	q	l	m	n
2	71	5	11	284	220
4	1151	23	47	18416	17296
7	73727	191	383	4437056	9363584

Albatta har qanday  uchun p, q, l lar tub son bo`lavermaydi. Shuning uchun  ni shunday tanlash kerakki, hosil bo`lgan p, q, l lar tub sonlar bo`lsin.  ning qiymati o`sishi bilan p, q, l ning qiymatlari, xususan p tez o`sadi va shuning uchun p tub yoki murakkab ekanligini aniqlash ayrim hollarda qiyin bo`lib qoladi.
Ayrim k=5, 7, 9, ... lar uchun yuqorida keltirilgan jadvalni tuzish juda qiyin.
K`orib o`tilganlardan tashqari do`st sonlarning yana bir necha juftini keltiramiz:
2620 va 2924;
5020 va 5564;
6232 va 6368;
10744 va 10856;
17296 va 18416;
66928 va 66992.
63020 va 76084;
Do`st sonlarni hosil qilishda asosiy qiyinchilik  ning qanday qiymatlarida p, q, l lar tub son bo`lishligini aniqlashdadir. Shuning uchun ham barcha do`st sonlar to`plamini tasavvur qila olmaymiz.
Hozirgi kunda 900 taga yaqin do`st sonlar jufti ma`lumdir. Ular orasida o`zaro tub bo`lgan do`st sonlar mav­jud emas.
Eyler do`st sonlarning 60 juftini topgan edi. Ular orasida har ikkalasi ham juft son bo`lganlari 34 ta va har ikkalasi toq sonlardan iborat bo`lganlari 26 ta. Biri juft, ikkinchisi toq bo`lgan do`st sonlar jufti mav-judmi?
Bu savolga javob topilgani yo`q. Agar bunday do`st sonlar mavjud bo`lsa, ularning har biri 10²³ dan katta bo`lib, mn soni 20 tadan ortiq tub bo`luvchiga ega bo`lishi ;kerakligi isbotlangan.