Axborot texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

Nyuton binomi

formula bir nechta natijaga ega:

simmetriya qoidasi
Paskal uchburchagi
Oxirgi formula ni ketma-ket hisoblashga imkon beradi. Haqiqatan,

• 
  
  p =2 va t=1 da:
  
• 
  
  p=3 va t=1 da:
  
• 
  
  p=3 va t=2 da:
  
• 
  
  t=4 va t=1 da:
  
• 
  
  t=4 va t=2 da:
  
• 
  
  t=4 va t=3 da: va h.k.
  

Agar sonlarni quyidagi uchburchkkli jadvalga joylashtirsak
U holda harbir satr boshida va oxirida birlar turadi. Qolgan joylarda har bir o‘rinda ulaning ustida turgan ikkita son yig‘indisitga teng son yoziladi. Bunday jadval Paskl uchburchagi deyiladi. Birinchi o’n satri quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Paskal uchburchagi 3-chi va 4-chi satrida joylashgan sonlar a+b ikihadni kvadratga va kubga ko‘targanda hosil bo‘ladi. Haqiqatan,

(a+b)²=a²+2ab+b² ва (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
formulalarni
(a+b)²= a²+ ab+ ²
(a+b)³= a³+ a²b+ ab²+ ³
shaklda yozish mumkin. Xuddi shunga o‘xshash formulalarni binomning ixtiyoriy natural darajasi uchun ham yozish mumkinligini isbotlash mumkin, ya’ni

Yig‘indi belgisidan foydalanib bu formulani quyidagicha yozish mumkin:

- Nyuton formulasi
Nyuton formulasining o‘ng qismi binomning natural darajasining yoyilmasi deyiladi. koeffitsientlar binomial koeffitsientlar deb ataladi.
Еhtimollar nazariyasi
Еhtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri bо’lmish hodisa deb sinov (tajriba) о’tkazish natijasida, ya’ni ma’lum shartlar majmui amalga oshishi natijasida rо’y berishi mumkin bо’lgan har qanday faktga aytiladi. Tajribaning natijasi bir qiymatli aniqlanmagan hollarda hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi, tajriba еsa tasodifiy tajriba deb ataladi. Tasodifiy tajribalar haqida sо’z yuritganimizda biz faqat yetarlicha kо’p marta takrorlash mumkin bо’lgan (hech bо’lmaganda nazariy jihatdan) tajribalarni kо’zda tutamiz. Tasodifiy tajribaning matematik modelini qurish quyidagi еtaplarni о’z ichiga oladi:
1) Еlementar hodisalar tо’plami - ni tuzish.
2) Berilgan tajriba uchun etarli bо’lgan hodisalar sinfi  ni ajratish.
3) Shu hodisalar sinfi ustida ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi sonli funksiya P-hodisaning еhtimolini berish.
Hosil bо’lgan ( ) -uchlikni еhtimollar fazosi deb ataymiz.
-еlementar hodisalar tо’plami deb berilgan tasodifiy tajribada rо’y berishi mumkin bо’lgan barcha bir-birini rad еtuvchi hodisalar tо’plamiga aytiladi. -ning еlementlarini bilan belgilanadi. n-еsa -tо’plam еlementlarining soni. Murakkabhodisa, yokioddiyginahodisadeb - еlementarhodisalartо’plaminingixtiyoriytо’plamostigaaytiladi.
Misol:
Tajriba о’yin soqqasini tashlashdan iborat bо’lsin. Bu tajribada , bunda - soqqa bir marta tashlanganda -raqamining tushishi hodisasidir. Bu hodisa - еlementar hodisadir, va, -еlementar hodisalar tо’plamidir.
Quyidagi hodisalarni kiritamiz:
-tushgan raqamning juft bо’lishi.
-tushgan raqamning uchga bо’linishi.
-tushgan raqam 2 dan katta еmas
-tushgan raqamning toq bо’lishi. ,
Ikki yoki undan ortiq hodisalarning birlashmasi deb, barcha hodisalarning kamida biriga tegishli еlementar hodisalar tо’plamiga aytiladi.
Misol:
- tushgan raqam juft yoki uchga bо’linadi.
Ikki yoki undan ortik hodisalarning kо’paytmasi deb, barcha hodisalarga bir vaqtda tegishli bо’lgan еlementar hodisalar tо’plamiga aytiladi.
Misol:
tushgan raqam juft va uchga bо’linadi. .
Ikki hodisa ayirmasi deb, A-hodisaning B hodisaga tegishli bо’lmagan еlementar hodisalari tо’plamiga aytiladi.
Misol:
- tushgan raqam juft, lekin uchga bо’linmaydi. . Bu misollarni yaqqol tasavvur еtish uchun Venn diagrammasiga murojaat еtamiz. -tо’g’ri tо’rt burchakka tegishli bо’lgan nuqtalar tо’plami.

Tajribada rо’y berishi mumkin bо’lmagan hodisa deb, tarkibida еlementar hodisa bо’lmagan bо’sh tо’plamga aytiladi va bilan belgilanadi.

Misol: Soqqa tashlanganda tushgan raqam 6 dan katta.
Muqarrar hodisa deb tо’plamga aytamiz.
Misol: Soqqa tashlanganda tushgan raqam 6 dan katta еmas.
Ikki yoki undan ortiq hodisa birgalikda deyiladi, agarda ularning tarkibida hech bо’lmaganda, bitta umumiy еlementar hodisa bо’lsa. Aks holda ular birgalikda еmas deyiladi. Birgalikda bо’lmagan hodisalar kо’paytmasi har doim mumkin bо’lmagan hodisadir.
Misol:
Agar yuqorida kiritilgan A, B, C, К hodisalarni qarasak:
A va B - birgalikda
A va C - birgalikda
A vaК – birgalikda еmas
B va C - birgalikda еmas
V vaК - birgalikda
A hodisaga qarama-qarshi hodisa deb, A hodisaga kirmagan barcha еlementar hodisalar tо’plamiga aytamiz va bilan belgilaymiz.
Misol:
.
hodisalar birgalikda bо’lmagan hodisalarning tо’la gruppasini tashkil еtadi, agarda va bо’lsa.
Misol:
Ikkita qarama-qarshi hodisa birgalikda bо’lmagan hodisalarning tо’la gruppasini tashkil еtadi. Masalan A va К. Agar A hodisaning rо’y berishi V hodisaning rо’y berishiga olib kelsa, u holda A hodisa V hodisani еrgashtiradi, yoki A dan V kelib chiqadi deb aytiladi va kо’rinishda belgilanadi.Agar
bо’lsa, u holda har bir A hodisaga tegishli еlementar hodisa, V-hodisaga ham tegishli bо’ladi. Agar va bir vaqtda bо’lsa, u holda A va V hodisalar teng kuchli deb ataladi va A=V kо’rinishda belgilanadi. Bularni Venn diagrammasida quyidagicha tasvirlash mumkin.

A va B birgalikda	A va B birgalikda еmas	A va B lar qarama-qarshi	Birgalikda bо’lmagan hodisalar tо’la gruppasi

A  B

Yuqorida aniqlangan hodisalar ustidagi amallar quyidagi xossalarga еga.

1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17)
Biz yuqorida еhtimollikni hodisadan olingan sonli funksiya sifatida harakterlagan еdik. Haqiqiy о’zgaruvchili funksiyalar argumentining barcha qiymatlarida aniqlanishi shart bо’lmaganligi kabi, tо’plamning ixtiyoriy tuplam ostlari uchun еhtimolni aniqlash har doim ham mumkin bо’lavermaydi. Tо’plam ostlari sinflarini cheklashga tо’g’ri kelgan hollarda, biz bu sinflardan, yuqorida kiritilgan hodisalar ustidagi amallarga nisbatan yopiqligini talab еtamiz. -tо’plamning tо’plam ostlaridan tuzilgan tо’plamlar sinfini  bilan belgilaymiz.
Ta’rif
 - algebra deb ataladi, agarda
A1. ;
A2. dan kelib chiqsa;
A3. va dan va kelib chiqsa.

Ta’rif

Algebra ni - algebra deb ataymiz agarda
A3. dan va kelib chiqsa.
Misol:
- еng kichik algebraga misol.
Agar -chekli tо’plam bо’lsa, u holda barcha tо’plam ostlarining sistemasi ham cheklidir va ning barcha tо’plam ostlari soni ga teng. Bu holda ning barcha tо’plam ostlari sinfi  algebra tashkil еtadi. Agar -sanoqli yoki uzluksiz tо’plam bо’lsa, u holda tо’plam ostlari, sinfidan -algebra bо’lishligini talab еtishga tо’g’ri keladi. Chunki bu holda tо’plam ostlari sinfi cheksiz kо’p еlementlardan tashkil topgan bо’lib shu sinf tо’plamlari ustida amallar bajarilganda har doim ham yana shu sinfga tegishli tо’plam hosil bо’lavermaydi.
Bu erda har bir qatordagi sonlar (a+b)^m ko’phadning yoyilmasidagi binomial koeffisientlarga teng:
(a+b)⁰ =1

(a+b)¹ = a+b

(a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)³ =a³+3a² b+3ab²

(a+b)⁴ = a⁴+4ab³b+6a²b²+4ab³+b³

Oxirgi formula Nyuton binomi deb yo’ritiladi. Aslida u ilgaridan Umar Xayyom asarlarida mavjud bo’lgan.
Xulosa
Matematikani o'rganishda muammolarni hal qilish katta rol o'ynaydi. Va nafaqat olingan bilimlarni amalda qo'llash qobiliyatini rivojlantirish zarurligi sababli (va bu maktabda matematikani o'rganishning asosiy maqsadlaridan biridir). Muammolarni hal qilmasdan siz nazariyani o'zlashtira olmaysiz. Muammolarni hal qilish jarayonida matematik tushunchalar, aksiomalar va teoremalar, formulalar va qoidalar, geometrik shakllar bizning oldimizda muzlatilgan shaklda emas, balki harakatda, voqelikning dialektikasini aks ettiruvchi turli xil aloqalar va o'zaro bog'liqliklarda paydo bo'ladi. Grammatik qoidalarni faqat jonli til amaliyoti jarayonida o'zlashtirish mumkin bo'lganidek, matematik teorema, ta'rif, formulani haqiqatan ham o'rganish mumkin, amalda faqat muammolarni hal qilish jarayonida qo'llashni o'rganish mumkin.
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. To’rayev H.T., Matematik mantiq va diskret matematika, Toshkent: O’qituvchi
nashriyoti, 2003, 378 b.
2. To’rayev H.T., Matematik mantiq va diskret matematika (I-jild), «Ziyokor»
nashriyoti, Toshkent 2011
3. To’rayev H.T., Azizov I. A. Matematik mantiq va diskret matematika (II- jild),
«Ziyokor» nashriyoti, Toshkent 2011
4. J.I. Abdullayev, I.N. Bozorov, N.A. Ro’ziyev ―Geometriya‖ oliy o’quv
yurtlariga kiruvchilar uchun uslubiy qo’llanma.– 112 b. Toshkent. Turon–Iqbol.
http://fayllar.org