Azərbaycan Dövlət Pedaqoji Universiteti Quba filialı Riyaziyyat-İnformatika müəllimliyi ixtisası üzrə təhsil alan 1-ci kurs tələbəsi Seyfullayeva Nəzrin Rəşad qızının Analitik Həndəsə -2 fənnindən sərbəst işi

Mövzu: 6. Paraboloid və onun müstəvi kəsikləri.

Plan 1: Elliptik paraboloid və onun kanonik tənliyi

Plan 2: Kanonik tənliyinə görə onun formasının təyin edilməsi

Plan 3: Hiperbolik paraboloid və onun kanonik tənliyi

Plan 4: Elliptik və hiperbolik paraboloidlərin müstəvi kəsikləri.

Elliptik paraboloid. Hər hansı R={o, i, j, k} ortonormal reperinə nəzərən koordinatları

(x²÷p)+(y²÷q)=2z. (1)

tənliyini ödəyən fəzanın bütün nöqtələr çoxluğuna elliptik paraboloid deyilir. Burada p və q həqiqi ədədlər olub, p>0, q>0.

(1) tənliyinə elliptik paraboloidin kanonik tənliyi deyilir.

(1) tənliyini O(0,0,0) koordinat başlanğıcının koordinatları ödədiyindən elliptik paraboloid koordinat başlanğıcından keçir.

(1) elliptik paraboloidinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini baxaq. Elliptik paraboloidin (ox) oxu ilə kəsişmə nöqtələrini təyin etmək üçün onların tənliklərini aşağıdakı şəkildə həll etmək lazımdır.

(x² ÷ p)+(y²÷q) = 2z,

y=0, z=0.

Aydın olur ki, bu sistemin yeganə həlli var: x=0, y=0, z=0. Beləliklə, elliptik paraboloidin (ox) oxu ilə bir ortaq nöqtəsi var ki, o da koordinat başlanğıcıdır. Eyni qayda ilə göstərə bilərik ki, koordinat başlanğıcı (1) elliptik paraboloid ilə (oy) və (oz) oxlarının yeganə kəsişmə nöqtəsidir. O nöqtəsinə elliptik paraboloidin təpəsi deyilir.

x, y məchulları (1) tənliyinə yalnız kvadratlarla daxil olduğundan, elliptik paraboloid (xoz) və (yoz) koordinat müştərilərinə nəzərən simmetrikdir. Amma (xoy) müstəvisinə simmetrik deyil. Burdan belə bir nəticə alırıq ki, elliptik paraboloid (oz) oxuna nəzərən simmetrikdir. Lakin (ox) və (oy) oxlarına, həmçinin koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik deyil.

Elliptik paraboloidin (1) tənliyindən belə çıxır ki, səthin bütün nöqtələri üçün z > 0 olacaq. Bu bərabərlik yalnız o zaman ödənilir ki, nöqtə koordinat başlanğıcına düşsün. Burdan da alırıq ki, elliptik paraboloidin təpəsindən başqa bütün nöqtələri (xoy) müstəvisindən eyni tərəfdə tərəfdə yerləşir.