Xiv mühaziRƏ İkitərtibli əyrilər: çevrə, ellips, hiperbola və parabola. Ellipsin kanonik tənliyi

XIV MÜHAZİRƏ


İkitərtibli əyrilər: çevrə, ellips, hiperbola və parabola.
3. Ellipsin kanonik tənliyi.
Tərif. Müstəvi üzərində fokus adlanan verilmlş iki və nöqtəsindən məsafələrinin cəmi sabit ədəd olan nöqtələrin həndəsi yerinə ellips deyilir.

Şək.2
Ellipsin tənliyini çıxarmaq üçün müstəvi üzərində düzbucaqlı koordinat sistemi götürək.( şək.2)
Ellepsin fokuslarının koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik yerləşib. Ellips üzərində yerləşən ixtiyari nöqtəsi üçün tərifə görə yazmaq olar:
(3.1)
Burada 2a ilə tərifdə göstərilən sabit ədəddir.
Aydındır ki, qəbul etsək , onda və olar.
2 nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə

İfadələrini (3.1)-də yazaq

(3.2)-nin hər tərəfini kvadrata yüksəldək.

və ya

olar.
Yenidən (3.3) ifadəsini kvadrata yüksəldərək alarıq

və ya

olar. (3.4) ifadəsini belə yazmaq olar;

olduğundan işarə edək onda (3.5)-i

yazmaq olar.
(3.6) tənliyinə Ellipsin kanonik tənliyi deyilir.
(3.6)-dan

alınır, yəni ellips (3.7) düzbucaqlısı daxilində yerləşir.(3.6)-dan nöqtələrinin də bu tənliyi ödədiyi alınır. yəni Ellips koordinat oxlarına nəzərən simmetrikdir. Odur ki, 3.6) dan alınan

funksiyasının 1-ci rüblə qrafikini qursaq, qalan rüblərdə də qrafiki qura bilərik. Şəkil 3 də
_və nöqtələri ellepsin təpələri, uuyğun olaraq Ellepsin böyük və kiçik yarım oxlarıdır.

-kəmiyyətlərinə ellepsin ekssentrisiteti, d/x-ri direktrisaları adlanır.

Şək.3

Göründüyü kimi olar əgər olarsa olsa və tənlik

cevrə tənliyinə çevrilər.

4 Hiperbola .

Tərif. Fokus adlanan verilmiş iki F₁ və F₂ nöqtələrindən məsafələrinin fərqi mütləq qiymətcə sabit kəmiyyət olan nöqtələrin həndəsi yerinə hiperbola deyilir.

Yenə müsbət sabiti 2a, fokuslar arasında məsafəni 2ci ilə işarə edək (şək.4).
olsun. Onda tərifə görə nöqtələri üçün
və ya
(4.1)

yazaq

Şək4.

olduğundan və bu ifadələri (4.1) -də yazıb ellipsin tənliyi kimi sadələşdirsək alarıq

(4.2)
və götürsək alınan



tənliyinə hiperbolanın kanonik tənliyi deyilir. (4.3)-dən

əgər olarsa
əgər olarsa
alınır, yəni hiperbola ox ilə kəsişir , amma oy-oxu ilə kəsişmir.
Hiperbolada kordinat oxlarına nəzərən simmetrikdir. Odur ki, birinçi rübdə onun hissəsinin

funksiyası ilə qrafikini qurmaq kifayətdir.
və d/xətləri hiperbolanı asimptotlarıdır. Kordinat oxları hiperbolanın simmetriya oxlarıdır, və bu oxların kəsişməsi hiperbolanın mərkəzi adlanır.

Şək5

və parçalarına hiperbolanın uyğun olaraq həqiqi və xəyali oxları deyilir.
2a- həqiqi , 2b-yə isə xəyali oxunun uzunluğu adlanır, a və b yarım oxlardır.
düzbucaqlısına hiperbolanın əsas düzbucaqlısı deyilir və tərəfləri 2a və 2b -dir.

hiperbolanın eksenstirsiteti ; d/x-nə isə hiperbolanın direkrtrisləri deyilir .(şək.5)
- hiperbolasına (4.3) -ün qoşması və tərsinə deyilir.
IX MÖVZU.Parabolanın kanonik tənliyi .

1. Parabolanın kanonik tənliyi.

Tərif. Fokus adlanan F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş d düz xəttindən eyni uzaqlıqda olan nöqtələrin həndəsi yerinə parabola deyilir.
fərz edək ki, F fokus nöqtəsi ox- oxu üzərində yerləşir və d direktrisinin ox- oxuna perpendikulyardır.
olsun .koordinat başlanğıcı -in ortasında yerləşir. Onda


olar.

Şək1.

parabolanın ixtiyari nöqtəsidir,onda tərifə görə

(2)

(2)-i (1) –də yazıb kvadrata yüksəldək
və ya
(3)

(3) tənliyinə parabolanın kanonik tənliyi deyilir.
p-kəmiyyəti parabolanın parametri adlanır.
(3)- tənliyinin qrafiki şəkil.2 -də göstərilir.
koordinatın başlanğıcı parabolanın təpə nöqtəsidir.

=2p


Şək.2
şəkil.2-də parabolalarının qrafikləri verilib və uyğun olaraq və oxları onların simmetriya oxlarıdır.