1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

Tekshirish uchun savollar

1. 
   n-tartibli bir jinsli tenglama.
   
2. 
   n-tartibli bir jinsli tenglamalarning xossalari.
   
3. 
   Funksiyani chiziqli bog’likligi.
   
4. 
   Funksiyani chiziqli erkliligi.
   
5. 
   Fundamental yechimlar sistemasi TA’RIFi.
   
6. 
   Vronskiy determinanti.
   
7. 
   Vronskiy determinantini 1 xossasi (teorema).
   
8. 
   Vronskiy determinantini 2 xossasi (teorema).
   
9. 
   Ostrogradskiy-Liuvill formulasi (n=2).
   
10. 
    1,x, ye^x funksiyalarni chiziqli bog’lik yoki chiziqli erkli ekanligini aniqlang.
    

8-MA’RUZA:
Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni yehishning o’zgarmasni variasiyalash usuli. Ostrogradskiy-Liuvill formulasi.
Reja.

1. 
   O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli tenglamalar.
   
2. 
   O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinslimas tenglamalar.
   
3. 
   Birinchi tartibli tenglamalarga keltiriladigan ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarning ba’zi tiplari.
   

1. 
   O’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar.
   

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamalar.
(1.1)
tenglama berilgan bo’lsin, bunda p va q -o’zgarmas haqiqiy sonlar. Yuqorida isbot qilinganiga asosan bu tenglamaning umumiy integralini topish uchun uning ikkita chiziqli erkli xususiy yechimini topish yetarlidir.
Xususiy yechimlarni
(1.2)
ko’rinishda izlaymiz; bu holda
;
hosilalarning bu ifodalarini (1) tenglamaga qo’ysak, u
ko’rinishni oladi. Ammo bo’lgani uchun bundan
(1.3)
ekani kelib chiqadi.
Demak, agar k(1.3) tenglamani qanoatlantirsa, u holda e^kx (1.1) tenglamaning yechimi bo’ladi. (1.3) teglama (1.1)tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
Xarakteristik tenglama-ikkita ildizi kvadrat tenglamadir; bu ildizlarni deb belgilaymiz. Bunda :

Quyidagi xollar bo’lishi mumkin:
I -haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmagan sonlar ( )
II -kompleks sonlar
III -haqiqiy va bir-biriga teng sonlar( )
Bu hollarni ayrim- ayrim qaraymiz

1. 
   Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va xar xil ( ) bo’lgan xol. Bu holda
   

funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi. Bu yechimlar

bo’lgani uchun chiziqli erkli bo’ladi.