Teorema. Ggruppaning qism to`plami Gda qism gruppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli;
1. h,hH (hhH)(Gagi algebraik amal Hda ham algebraik amaldir);
2. ( )1 h H h H(Hning istalgan helementiga teskari 1helement ham Hga arashli).sboti. 1. Hgruppa (Gdagi qism gruppa) bo`lsa, yuqoridagi ikkita shart albatta bajariladi.
2. Ikkala talab ham bajariladi desak, h Guchun hh e H1bo`ladi. Endi H Gga ko`ra h,h,hHuchun (hh)h h(hh)ham bajariladi. Teorema isbot bo`ldi.
Gruppa va qism gruppasining tartibi haqidagi Lagranj teoremasi.
Lagranj teoremasi. Har qanday chekli gruppada ixtiyoriy qism gruppaning tartibi gruppa tartibining bo`luvchisidir.Haqiqatan ham, cheklin tartibli G
gruppada k tartibli Aqism gruppa berilgan bo`lsin. Ggruppaning Aqism gruppa bo`yicha chap tomonlama yoyilmasini ko`ramiz. U ja sinfdan tashkil topgan bo`lsin. J
son Ggruppada Aqism gruppaning indeksi deyiladi. Har bir xAchapki qo`shni sinf roppa-rosa kta elementdan tashkil topgan, chunki agar1 2xa xabo`lsa, bu yerda