H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

Şəkil 2.14 

 

      

2.2.3. İşıqlandırılmış  səthin qurulması 

 

      Fərz 

edək  ki,  səth  işığı  əks  etdirən  və  udan  materialdan 

hazırlanmışdır.Bundan başqa, işıq mənbəyinin yerini dəyişmək mümkündür.Bu 

iki  imkan  qrafikin  döndərilməsi  ilə  birlikdə  səthi  lazımi  bucaq  altında 

işıqlandırmağa    və    təbii  görkəm  almağa    imkan  berir.İşıqlandırılmış  səthi 

qurmaq üçün surfl funksiyasından istifadə olunur. 

     Arqumentlərin 

]

1

,

0

[

],

1

,

1

[







y

x

 intervalında  

 

)

1

(

)

1

(

)

5

.

1

cos(

2

sin

4

)

,

(

2

y

y

x

y

x

y

x

z

















 

 

ifadısi ilə verilmiş işıqlanmış səthi quraq. 

      

surfl funksiyasından istifadə etdikdə rəng politrasını  

copperç,bone,gray,pink funksiyaları ilə vermək əlverişlidir. Bu halda işığın 

intensivliyi xətti dəyişir.Rəvan dəyişən kölgə almaq üçüçn shading interp –dən 

 

52 

 

istifadə etmək olar. 

Matlabda relizasiya. 

      Misal 2.14. 

 

       

 

 

Şəkil 2.15 

 

      

2.2.4. Qrafiklər ailəsinin qurulması.Dövr operatopu 

 

      

Fərz  edək  ki,  parametrdən  asılı  olan  funksiyanı  parametrlərin  müxtəlif 

qiymətlərində və dəyişənin verilmiş intervalında  hesablamaq tələb olunur.Belə 

funksiya y=f(a,x) şəklində verilə bilər. 

      Bu məqsədlə 

for (üçün) dövr operatorundan istifadə olunur: 

  for a=a

min

:∆a:a

max 

Matlab əmirləri 

end 

      Misal 2.15.    y(a,x)=e

-ax

sin(x)               funksiyasının                 parametrin 

]

1

.

0

,

1

.

0

[





a

qiymətləri üçün dəyişənin 

]

2

,

0

[





x

intervalında əyrilər ailəsini 

 

53 

 

quraq. 

 

     

 

 

Şəkil 2.16 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54 

 

 

 

FƏSİL 3 

 

 

RİYAZİ  FUNKSİYALARIN  HESABLANMASI 

_________________________________________________________ 

 

      Əsas riyazi funksiyalar aşağıdakılardır: 

 1. Elementar funksiyalar. 

 2. Xüsusi funksiyalar.  

 3. İstifadəcinin funksiyaları. 

 Funksiyaların siyahısını göstərək və onların hesablama qaydalarına baxaq. 

 

 3.1. Elementar funksiyalar 

 

     Riyazi  funksiyalar 

fun(x)  şəklində  təsvir  olunur.fun-funksiyanın  adı,  x- 

arqumentidir  (ədəd  və  ya  matris).Bəzi  elementar  funksiyalarin  hesablanma 

texhologiyasına baxaq. 

       Əsas elementar funksiyaların siyahısı Əlavə 1-də verilmişdir. 

 

3.1.1. 

Cəbri və arifmetrik funksiyalar 

 

1.  abs(x)- x-in mütləq qiyməti. 

Aşağıdakı ədəd və matrislerin mütləq qiymətlərini tapaq: 

x

1

=(-3, 5);  x

2

=(2, 3, 2+3i, i); 

.

5

2

3

2

1

3

2

3





























i

x

 

Misal 3.1.          

 

55 

 

 

 

 

     2.exp(x)- eksponensial funksiya. 

     x-həqiqi  ədəd  olarsa  e

x

  hesablanr.Əgər  x=a+ib  kompleks  kəmiyyət  olarsa 

kompleks eksponenta 

di

c

b

i

b

e

e

a

x









)

sin

(cos

 hesablanır. 

Aşağıdakı arqumentlər üçüşn e

x

 hesablayaq: 

 

x

1

=(1 2 3 4 5);    x

2

=(2.5+7i   -1   1); 

.

2

5

.

0

5

.

0

5

2

.

1

3

1

.

0

1

3





























i

i

i

x

 

Arqumentləri bir matris şəklində birləşdirmək üçün x

1

, x

2

, x

3

 sətirləri eyni 

götürülmüşdür. 

Misal 3.2. 

 

 

56 

 

 

 

     

 

     

     3.log(x), log10(x), log2(x) - loqarifmik funksiyaları ədədlərin əsası e, 10,və 

2 olan loqarifmlərini hesablayır. 

Arqument  x müsbət, mənfi və kompleks ola bilər.Əgər x=a+ib kompleks 

kəmiyyətdirsə, onda kompleks loqarifm adlanan loqarifm hesablanır: 

).

,

(

2

))

(

log(

)

log(

b

a

an

at

i

x

abs

x







 

Həqiqi a və b ədədləri üçün z=atan2(a,b) a,b vektorları arasında bucaqdır: 

].

,

[











 

 

     Misal 3.3. 

 

 

57 

 

 

 

 

     3.1.2. Hiperbolik funksiyalar 

 

     

Bunlar eksponensial funksiyalarla ifadə olunurlar: 

.

1

2

)

(

,

1

2

)

(

,

1

1

)

(

,

1

1

)

(

,

2

)

(

,

2

)

(

2

2

2

2

2

2

































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

e

x

csh

e

e

x

sch

e

e

x

cth

e

e

x

th

e

e

x

ch

e

e

x

sh

 

 

     Müvafiq Matlb funksiyaları (bax, Əlavə 1): 

 

      Əvvəldə olduğu kimi arqument x həqiqi, kompleks ədəd, vektor və ya 

matris ola bilər. 

     Misal 3.4. 

 

 

58 

 

 

 

     

3.2. Kompleks dəyişən funksiya 

 

     Matlabda xəyali vahid 

1



 i və ya j ilə işarə olunur (Əlavə 1). 

     

Xəyali ədədin əsas göstəricilərinin təyin olunmasına misalda baxaq. 

     Misal 3.5. 

     

 

     

 

 

     Kompleks ədədlər üzərində elementar  əməliyyatlar addi cəbri işarələrin  +, 

-, *, /, \ və ^ köməyi ilə aparılır. 

     Misal 3.6. 

 

 

59 

 

            

 

            

 

     Qeyd  edək  ki,  sağdan  bəlmə  addi,  soldan  bəlmə  isə  əksinə 

bəlmədir:5/2(5:2)=2.5; 5\2(2:5)=0.4. 

 

      3.3. Yuvarlaşdırma və bölmədən alınan qalığın 

hesablanması    funksiyaları 

 

      Funksiyalar və yazılışı:  

     -

fix(x) -sıfra tərəf ən yaxın tam ədədə qədər yuvarlaşdırma; 

     -

floor(x)- mənfi sonsuzluğa tərəf ən  yaxın tam ədədə qədər  yuvarlaşdırma;                     

-

ceil(x)-  mənfi  sonsuzluğa  tərəf  ən  yaxın  tam  ədədə  qədər  yuvarlaşdırma;     

-

round(x) - ən yaxın tam ədədə qədər yuvarlaşdırma;  

-mod(x,y) - işarəsi nəzərə alınmaqla tamqiymətli bölmə nəticəsində alınmış  

qalıq;  

 -rem(x,y) - modula görə tamqiymətli bölmə nəticəsində alınmış qalıq;  

 

60 

 

 -sign(x) - ədədin işarəsinin təyin olunması.  

 rem(.) və mod(.) funksiyaları aşağısakı kimi hesablanır: 

rem(x,y)=x-y*fix(x/y);    mod(x,y)=x-y*floor(x/y). 

x 

və 

y 

arqumentləri 

müsbət 

olduğu 

halda 

rem=mod. 

Məsələn,rem(7,2)=mod(7,2)=1. 

     Misal 3.7. 

     >> b=[1.95  8.17  -4.2]; 

     >> fix(b) 

     ans = 

     1  8  -4 

     >> floor(b) 

     ans = 

     1  8  -5 

     >> ceil(b) 

     ans = 

     2  9  -4 

     >> round(b) 

     ans = 

     2  8  -4 

     >> mod(b,2) 

     ans = 

     1.9500  0.1700  1.8000 

     >> rem(b,3) 

     ans = 

     1.9500  2.1700  -1.2000 

     >> sign(b) 

     ans = 

     1  1 -1 

 

     3.4. Polinomlar 

 

 Aşağıda göstərələn 

n

1

n

1

n

0

a

...

s

a

s

a

p











 

 polinomların  cəmlənməsi,  vurulması,  bölünməsi,  köklərinin  təyini,  verilmiş 

köklərə  əsasən  polinomun  bərpası,  sadə  vuruqlara  ayrılması  məsələlərinə 

baxaq. s=x olarsa yazmaq olar: 

n

n

n

a

x

a

x

a

y











...

1

1

0

. 

 

61 

 

      1.1. Polinomların vurulması və bölünməsi.. Vurma p=p

1

p

2  

iki-iki

  

conv 

(z

1

, z

2

) funksiyasının köməyi ilə yerinə yetirilir. Burada, z

1

, z

2

 uyğun p

1

 və p

2

 

polinomlarının əmsallar vektorudur. Üç polinomun hasili  conv(conv(z

1

, z

2

), 

z

3

). 

İki  p

1

(s)  və  p

2

(s)  polinomlarının  bölünməsi  deconv(z

1

,z

2

)  funksiyasının 

köməyi ilə həyata keçirilir. 

Misal  3.8.  Aşağıda  p

1

=3s

2

+2s+1,  p

2

=s+4    polinomlarının    vurulma  və 

bölünmə proqramları göstərilmişdir.  

 

 

 

Vurma əməliyyatı nəticəsində p(s)=3s

3

+14s

2

+9s+4, bölmə nəticəsində isə 

p(s)=3s-10, qalıq t=0s

2

+0s+41. 

 1.2.  Polinomun  verilmiş  s=k  nöqtəsindəki  qiymətinin  hesablanması. 

Əməliyyat polyar (n,k) funksiyasının köməyi ilə həyata keçirilir. n-polinomun 

əmsallar vektoru, k – s dəyişəninin qiymətidir.  

 Aşağıda p(s)=5s

5

+7s

4

+2s

2

-6s+10 polinomunun s=2 nöqtəsindəki qiymətinin 

hesablanması göstərilmişdir.  

     

 

     1.3.  Köklərin  təyini.  Bu  əməliyyat  roots  (z)  funksiyasıvasitəsi  ilə  həyata 

keçirilir.  p=5s

5

+7s

4

+2s

2

-6s=0  polinomunun  köklərinin  təyin  olunması 

göstərilmişdir.  

 

62 

 

 

1.4.  Verilmiş  köklərə  görə  polinomun  bərpası.  Bu  əməliyyat  poly  (.) 

funksiyasının köməyi ilə həyata kemirilir. 

     

 

Göründüyü  kimi,  p(s)=0  tənliyinin  hər  tərəfi  5-ə  bölünmüşdür.  Yəni 

yüksək tərtib s

5

-in əmsalına görə normallaşdırma aparılmışdır. 

1.5.  Polinomların  sadə  vuruqlara  ayrılması.Bu  məqsədlə  factor(.) 

funksiyasından istifadə olunur. 

 

Bu  halda  polinomun  iki 

j

46

.

3

1

p

3

,

2





  kompleks-qoşma  kökü 

oldugundan onlar həqiqi kvadratik hədd şəklində göstərilmişlər. 

 

 

     

3.5. İstifadəşinin funksiyası 

 

 Hesablamaları ədədi qsullarla yerinə yetirdikdə  adətən rekurent ifadələrdən 

istifadə olunur. Hesablama prosesində hər iterasiyada bu ifadəyə  yüz dəfələrlə 

 

63 

 

müraciət olunur. Bu səbəbdən, hesablamaları sürətləndirmək məqsədi  ilə əsas 

ifadəni  (məsələn,  inteqralaltı  ifadə)  M-fayla  ,  əməliyyat  funksiyasını  isə 

Matlabın əmirlər pəncərəsinə  yazırlar. M-fayla yazılan funksiya istifadıçinin 

funksiyası adlanır. 

M-faylın  redaktor  pəncərəsini    çağırmaq  üçün  aşağıdakı  əməliyyatları 

yerinə yetirmək lazımdır: 

1.  Matlabı çağırmaq. 

2.  File/New/M-File  “düyməsinə”  klik etmək. 

Pəncərə aşılacaqdır. 

Lazımi  əmirləri  daxil  etdikdən  sonra  Save  düyməsinə  klik  etmək.  Başqa 

pəncərə açılır.Burada Coxранить (Save) düyməsinə yenə klik etməli.

 

 

 

      

3.6. İfadələrin sadələşdirilməsi və çevrilməsi 

 

  Polinomlar  üzərində  əməliyyatlar  aşağıdakı  funksiyaların  köməyi  ilə 

həyata keçirilir: 

 

 

 Polminom  (x+a)

4

  +(x-1)

3

  -  (x-a)

2

  –ax+x-3  daxil  edib  pretty  funksiyasının 

köməyi ilə təsvir edək. 

 

x-in qüvvətlərinə nəzərən qruplaşdırma. 

 

 

 

 

64 

 

sin(x+y) ifadəsini sadəvuruqların cəmi və hasili şəklində göstərək. 

 

 

 Daha ümumi şəkildə olan ifadələri sadələşdirmək üçün simple və simplify 

funksiyalarının  köməyi  ilə  həyata  keçirilir.          (1-x

2

)/  (1-x)  ifadəsini 

sadələşdərək. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çalışmalar- 3.1 

 

     1. Polinomlar üzərində MATLABda əməliyyatlar. 

     1.1.Tənliyin köklərini tapın. 

     A

1

(s)=s

3

+3 s

2

+5s+7=0, 

     A

2

(s)=s

4

+3 s

3

+4s

2

 +4s+10=0, 

     A

3

(s)=s

4

+2 s

2

+1=0. 

     1.2. A

1

(s)/A

2

(s), A

2

(s)/A

3

(s) bölmə və eyni zamanda vurma əməliyyatlarını   

yerinə yetirin. 

 

65 

 

     1.3.  Bənd  1.1-də  verilmiş  polinomların  uyğun  olaraq  s=1,  s=4,  s=10 

nöqtələrindəki A

1

(1), A

2

(4), A

3

(10) qiymətlərini tapın. 

     1.4. Verilmiş köklərə əsasən p(s)polinomunu bərpa edin: 

                 s

1

=-2; s

2,3

=



4j; s

4,5

=-2 



1j; s

6

=0. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FƏSİL 4 

 

 

66 

 

XÜSUSİ HESABLAMALAR 

_________________________________________________________ 

 

     

4.1. Həddlərin hesablanması 

 

       Həddlərin hesablanması riyazi analizin vacib sahəsini təşkil edir. 

h ədədi f(x) funksiyasının a nöqtəsində o zaman həddi adlanir ki, x dəyişəni a 

nöqtəsinə  yaxınlaşdıqda  (x→a)  f(x)  funksiyası  h-a  hədsiz  yaxınlaşsın.  Bu 

proses aşağıdakı kimi işarə olunur: 

.

)

(

lim

h

x

f

a

x





 

      Elə funksiyalar mövcuddur ki, (məsələn, a nöqtəsində kəsilən) onların x=a 

nöqtəsinin özündə həddi yoxdur (yəni, ± ∞ (inf) ola bilər).Lakin soldan x→a-0 

və  sağdan  x→a+0  yaxınlaşmada  həddi  mövcuddur.Burada  sıfır  çox  kiçik 

kəmiyyət  kimi  başa  düşülür.  Birinci  halda  deyirlər  ki,  hədd  a  nöqtəsindən 

solda,  ikinci  halda  isə-sağda  mövcuddur.  Məsələn  f(x)=tg(x)  funksiyasının 

)

90

(

2

/









a

x

 nöqtəsində limiti yoxdur. Sol və sağ həddlər bərabər olarsa, 

onda x=a nöqtəsində hədd mövcuddur. 

      Kompyüter  cəbrinin  əməliyyatları  0/0,  0/∞,  ∞/0,  ∞/∞tipli  qeyri-

müəyyənliklərir halında belə funksiyanın həddini tapmağa imkan verir. 

      Matlabda həddlər 

limit(.)funksiyasının kəməyi ilə hesablanır. Sintaksis 

      

limit(f,x,a): 

     -f-həddi təyin olunan funksiya; 

     -x-arqument; 

     -a-x-in hədd qiymətidir. 

       limit(f,x,a,’left’)-soldan yaxınlaşma həddi; 

      

limit(f,x,a,’right’)-sağdan yaxınlaşma həddi. 

      Misal 4.1.















x

x

x

)

sin(

lim

0

tapaq. 

      

 

      Misal 4.2. 

n

n

n

x











 





)

1

lim

təyin etməli. 

 

67