I va II tur sirt intеgrallari. Sirt intеgrallarining tatbiqlari

Хоssаlаri:

1. , k – oʻzgаrmаs sоn.

2. .
3. , bu yеrdа
4. Agar berilgan sirt ustida tengsizlik oʻrinli boʻlsa, quyidagi tengsizlik oʻrinli boʻladi:
.
5. .
6. Oʻrta qiymat haqidagi teorema. Agar funksiya S sirtda uzluksiz boʻlsa, u holda bu sirtda shunday nuqta topiladiki, quyidagi tenglik oʻrinli

bu yerda -sirtning yuzi.
1-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - tekislikning birinchi oktantdagi qismi(3-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz
,
bu yerda berilgan S sirtning tekislikdagi proyeksiyasini aniqlaydi, ya’ni, , va chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak sohasi(4-shakl).
I tur sirt integralini (28.2) formula yordamida ikki karrali integralga keltirib hisoblaymiz. boʻlgani uchun

boʻladi. Bundan,

Oxirgi integral uchburchak soha yuzini beradi va u 3 ga teng.
Demak,




3-shakl 4-shakl
2-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - paraboloid sirtining tekislik bilan kesilgan qismi, (5-shakl).
Yechish. Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz. Bu yerda x ni y va z oʻzgaruvchilar orqali ifodalash qulay
.
Shuning uchun sirt integralini hisoblashda (28.3) formuladan foydalanamiz. S sirtning Oyz tekislikdagi proyeksiyasini topamiz, buning uchun quyidagi sistemani yechamiz;

Paraboloid tekislik bilan aylanada kesishadi. Demak, S paraboloid sirtining Oyz tekislikdagi proyeksiyasi doira sohasi boʻladi. va ekanini va (28.3) formulani e’tiborga olgan holda,


ikki karrali integralga ega boʻlamiz. Bu integralda
va
qutb koordinatalar sistemasiga oʻtish qulay. Qutb koordinatalar sistemasida soha tengsizliklar bilan aniqlanadi(6-shakl). Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:

.

5-shakl 6-shakl