Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish. Reja: Kirish

Original va tasvir

Originalni tasviri bo‘yicha topish usullari operatsion hisobda originalni ma’lum tasviri bo'yicha izlash uchun yoyish teoremalari deb ataladigan teoremalardan hamda tasvirlar jadvalidan foydalaniladi.
1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ƒ⁽𝑡⁾ funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 𝐹⁽𝑝⁾ funksiya esa ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝐹⁽𝑝⁾ → ƒ⁽𝑡⁾ yoki 𝐿^[ƒ⁽𝑡^)] = 𝐹⁽𝑝⁾
ko’rinishda belgilaymiz.
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.

• 
  a) Birlik funksiya va uning tasviri.
  

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:

1, 𝑡 ≥ 0
𝜃(𝑡) = { ^{0, 𝑡 < 0}
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz ⁽𝑝 = 𝑠 + i𝑟, 𝑠 = Re𝑝⁾

∞
𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ 𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 = −
0
_𝑒−𝑝𝑡 ^∞

0
_𝑝 |
1
= _𝑝.

1. 
   Teorema. Har qanday ƒ⁽𝑡⁾ original funksiya uchun, Re𝑝 > 𝑠₀ yarim tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi 𝐹(𝑝) tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda 𝐹(𝑝) analitik funksiyadan iborat, bu yerda 𝑠₀ − original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.
   

• 
  Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra ^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠0𝑡. Agar
  

𝑝 = 𝑠 + i𝑟 bo’lsa ^|𝑒^−𝑝𝑡| = 𝑒^−𝑠𝑡, shuning uchun
_{|ƒ(𝑡)𝑒}−𝑝𝑡_{| ≤ 𝑀𝑒}𝑠₀𝑡_𝑒−𝑠𝑡 _{= 𝑀𝑒}−⁽𝑠−𝑠₀⁾𝑡

𝐹⁽𝑝⁾ = 0.◄