Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish. Reja: Kirish


Operatsion hisobning asosiy teoremalari



Yüklə 195,09 Kb.
səhifə4/7
tarix24.12.2023
ölçüsü195,09 Kb.
#193508
1   2   3   4   5   6   7
differensial

Operatsion hisobning asosiy teoremalari


Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.

  1. Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar ƒ1(𝑡) va ƒ2(𝑡) funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha 𝑡 > 0 nuqtalarda ustma ust tushadi.

  2. Teorema. (Chiziqlilik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy 𝜆 va 𝜇 kompleks sonlari uchun

𝜆ƒ(𝑡) + 𝜇𝑔(𝑡) ➛ 𝜆𝐹(𝑝) + 𝜇𝐺(𝑝) (4)

  • Ta’rif bo’yicha 𝜆ƒ(𝑡) + 𝜇𝑔(𝑡) funksiyaning originalini integralning chiziqliligidan foydalanib topamiz


𝐿[𝜆ƒ(𝑡) + 𝜇𝑔(𝑡)] = ∫ [𝜆ƒ(𝑡) + 𝜇𝑔(𝑡)]𝑒𝑝𝑡𝑑𝑡 =
0
∞ ∞
= 𝜆∫ ƒ(𝑡)𝑒𝑝𝑡𝑑𝑡 + 𝜇∫ ƒ(𝑡)𝑒𝑝𝑡𝑑𝑡 = 𝜆𝐹(𝑝) + 𝜇𝐺(𝑝). ◄
0 0
Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida sin 𝜔𝑡 funksiyaning tasvirini topamiz.
sin 𝜔𝑡 = 1 (𝑒i𝜔𝑡 − 𝑒−i𝜔𝑡) ➛ 1 ( 1 1 ) = 𝜔

2i 2i 𝑝 − i𝜔 𝑝 + i𝜔 𝑝2 + 𝜔2

  1. Teorema. (O’xshashlik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy


ƒ(𝑎𝑡) 1 𝐹 (𝑝)
𝑎 𝑎

(5)



𝑎 > 0 uchun






  • ƒ(𝑎𝑡) funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda 𝑎𝑡 = 𝑟

almashtirish bajaramiz:
1 𝑝 1 𝑝
𝐿[ƒ(𝑎𝑡)] = ∫ ƒ(𝑎𝑡)𝑒𝑝𝑡𝑑𝑡 =
0
∫ ƒ(𝑎𝑡)𝑒𝑎𝑎𝑡𝑑(𝑎𝑡) =
𝑎 0
∫ ƒ(𝑟)𝑒𝑎𝑐𝑑(𝑟) =
𝑎 0
1 𝑝
= 𝑎 𝐹 ( )

𝑎

  1. munosabatni hosil qoldik.◄

  1. Teorema. (Siljish) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝), 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo’lsa, u holda

𝑒𝑎𝑡ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝 − 𝑎) (6)

    • Ta’rif bo’yicha 𝑒𝑎𝑡ƒ(𝑡) ning tasvirini topamiz

𝐿[𝑒𝑎𝑡ƒ(𝑡)] =
∞ ∞
𝐿[𝑒𝑎𝑡ƒ(𝑡)] = ∫ 𝑒𝑎𝑡ƒ(𝑡)𝑒𝑝𝑡𝑑𝑡 = ∫ ƒ(𝑡)𝑒−(𝑝𝑎)𝑡𝑑𝑡 = 𝐹(𝑝 − 𝑎).◄
0 0
Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni 𝑒𝑎𝑡 ga ko’paytirish, tasvir argumentining 𝑎 qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar
ƒ(𝑡) funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa, 𝑒𝑎𝑡ƒ(𝑡) funksiyaning tasvirini topish mumkin.


LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.


O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalarni integrallash.
Bu masalaning Laplas operatorini qo’llanishga asoslangan ancha sodda yechish metodini ko‘rsatamiz.
Soddalik uchun ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bilan cheklanamiz. Shunday qilib, o’zgarmas koeffitsiyentli Chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo‘lsin:
bu yerda а1 va а2 haqiqiy sonlar. Bu tenglamaning у(0) = yо, у'(0)=у'0, bu yerda у0 va у'0 berilgan sonlar, boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi u (t) xususiy yechimini topish talab qilinadi.
Izlanayotgan y(t) yechim, uning у'(t), у" (t) hosilalari, differen­sial tenglamaning o‘ng tomoni f (t)
originallar bo‘lsin deb faraz qilaylik. deb belgilab va boshlang‘ich shartlardan foydalanib, y' (t) va y" (t) tasvirlarni topamiz:
Chiziqlilik xossasiga ko‘ra tenglamada tasvirlarga utamiz:

y"(t)+a1y’(t)+a2y(t)p2Y(p)-py0-y’0+a1(pY(p)-y0)+a2Y(p)=F(p)

yoki

2 + alp+ а2) Y (р) = F (р) + ру0 + у'0 + а1 у0. (24)
tenglama yokamchi tenglama yoki differensial tenglamaga mos tasvirlardagi tenglama deyiladi. Shunday qilib, y(t) original uchun differensial tenglama o’rniga uning Y (p) tasviri uchun chiziqli algebraik tenglama hosil qildik.
Original y (t) uchun formula bilan aniqlanadigan Y (p) funksiya tasvir bo‘ladi. Ana shu y(t) differensial teng­lamaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi.

Yüklə 195,09 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin