Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish. Reja: Kirish

Koshi masalasi

Chegaraviy masala.

Agar qo‘shimcha shartlar bitta x  x₀ nuqtada berilsa, differensial tenglamani yechish uchun qo‘yilgan masala Koshi masalasi deyiladi. Koshi masalasidagi qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich shartlar, xx₀ nuqta esa boshlang‘ich nuqta deb ataladi. Oddiy differensial tenglamalarni yechishning chizma, analitik, taqribiy va sonli yechish usullari mavjud.
Analitik usullarda differensial tenglamaning yechimlari aniq formulalar orqali aniqlanadi.
Taqribiy usullarda differensial tenglama va qo‘shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonroq masalaga keltiriladi.
Sonli usullarda esa yechim analitik shaklda emas, balki sonlar jadvali ko‘rinishida olinadi. Albatta bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Natijada sonli usullar vositasida olingan yechim ham taqribiy bo‘ladi.
Umuman olganda, oddiy differensial tenglamalarning yechimlarini analitik usul yordamida topish imkoni juda kam bo‘lganligi uchun, amalda ko‘pincha ularni sonli usullar yordamida taqribiy hisoblanadi.
quyida shunday usullardan Eyler va Runge-Kutta usullarini ko‘rib chiqamiz.


LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.

Laplas almashtirishi

Haqiqiy o’zgaruvchili ƒ(𝑡) funksiyaning Laplas almashtirishi deb
∞
𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ ƒ(𝑡)𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 (1)
0
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyaga aytiladi, bu
yerda 𝑝 = 𝑠 + i𝑟.
Integral kompleks 𝑝 parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi.
ƒ(𝑡) funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyani aniqlasin?
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   ƒ(𝑡) funksiya 𝑡 ≥ 0 da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);
   
2. 
   Barcha 𝑡 < 0 larda ƒ⁽𝑡⁾ = 0;
   
3. 
   𝑡 → +∞ da ^|ƒ⁽𝑡^)| funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday 𝑀 > 0 va 𝑠 mavjudki, barcha 𝑡 larda
   

^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠𝑡 (2)

2. 
   tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 𝑠 qiymatlarning quyi chegarasi 𝑠₀
   

qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha 𝑡^𝑘 (𝑘 > 0) darajali funksiyalar qanoatlantiradi.