Mavzu: Qisqa ko’paytirish formulalarining umumlashmalari. Ko’phadlarni bo’lish Reja

N a t i j a. Agar S(p, q) = l bo'lib, a soni ham p ga, ham q ga bo'linsa, u pq ga bo'linadi. Masalan, biror son ham 2 ga, ham 3 ga bo'linsa, u 6 ga bo'linadi, 3 ga va 4 ga bo'linadigan sonlar 12 ga ham bo'linadi va hokazo.
Qadimgi Samarqand madrasalarida a sonni biror b (masalan, 9) ga bo'lishdan chiqadigan qoldiq r ni shu sonning mezoni (o'lchami) deb ataganlar va undan sonlar ustida amallar to'g'ri bajarilganini tekshirishda foydalan-ganlar. Masalan, 378 • 4 925 = 1 861 650 dagi natij'a to'g'ri hisoblanganligini tekshiramiz.
Mezonlar (9 ga bo'linish belgisi bo'yicha):
378 uchun: 3 + 7 + 8 =18, 1 + 8 =9;
4 925 uchun: 4 + 9 + 2 + 5= 20, 2 + 0=2.
Mezonlar ko'paytmasi: 9-2 =18, 1 + 8 =9.
1861 650uchun: 1+8 + 6+1+6 + 5 + 0 =27, 2 + 7 =9.
Mezonlar va berilgan sonlar ko'paytmalarining mezon-lari teng, ya'ni 9=9. Demak, topilgan ko'paytma to'g'ri.

Taqqoslama va uning xossalari.

Taqqoslamalar. a ni b ga qoldiqli bo'lamiz: a = bq + r, 0 ≤ r < b. a-bo’linuvchi, b-bo’luvchi, q- bo’linma, r-qoldiq. a va b butun sonlarini m natural soniga bo'lishda bir xil qoldiq hosil bo'lsa, a va b sonlari m modul bo'yicha taqqoslanadigan (teng qoldiqli) sonlar deyiladi va a = b (mod m) ko'rinishda belgilanadi. a soni b soniga m modul bo'yicha taqqoslanishini ifodalovchi a = b (mod m) bog'lanish taqqoslama deb o'qiladi.Misol. 27 = 5∙5 +2, 12 = 5∙2 + 2 bo'lgani uchun 27=12 (mod 5) .

1. teorema. a ≡ b (mod m) taqqoslama a-b ayirma m ga qoldiqsiz bo'lingandagina o'rinli bo'ladi.

Isbot. a = b (mod m) taqqoslama o'rinli bo'lsin, ya'ni a va b sonlarini m soniga bo'lishda ayni

bir xil r qoldiq hosil bo'lsin. U holda a = mq+r, b = mq'+ r teng-liklar o'rinli bo'ladi, bu yerda q, q'є Z. Bu tengliklarni hadma-had ayirib, a-b = mq-mq'= m(q- q') ga ega bo'-lamiz. Demak, a-b soni m ga bo'linadi.
Aksincha, a-b soni m ga bo'linsin, ya'ni
a-b = km, kєZ (1)
bo'lsin. b sonini m soniga qoldiqli bo'lamiz:
b = mq + r, 0≤r(2)
(1) va (2) lardagi tengliklarni hadma-had qo'shib, α = (k + q)m + r tenglikka ega bo'lamiz, bu yerda 0Bundan a sonini m soniga bo'lishdagi qoldiq b ni m soniga bo'lishdagi qoldiqqa tengligi kelib chiqadi. Demak, a = b (mod m) taqqoslama o'rinli.

1. t e o r e m a. Har biri c soni bilan taqqoslanadigan a va b sonlari bir-biri bilan ham taqqoslanadi.

Isbot. a = c (mod m) va b = c (mod m) bo'lsin. U holda 1- teoremaga ko'ra a-c = mq₁,
b-c = mq₂ tengliklar o'rinli bo'ladi, bu yerda q₁, q₂ є Z. Bu tengliklardan a - b = m(q₁ -- q₂) ni olamiz. Demak, a ≡ b (mod m) taqqoslama o'rinli.

1. teorema. Moduli bir xil taqqoslamalarni hadma-had qo'shish mumkin.

Isbot.
3- teoremadan qo'shiluvchini taqqoslamaning bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi ishora bilan o't-kazish mumkin ekanligi kelib chiqadi.

Haqiqatan, a + b = c (mod m) ga ayon -b = -b (mod m) taqqoslamani qo'shsak, a = c-b (mod
m) hosil bo'ladi.
Isbot.

3. 
   
   teoremadan qo'shiluvchini taqqoslamaning bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi ishora bilan o't-kazish mumkin ekanligi kelib chiqadi.
   

   1. t e o r e m a. Taqqoslamaning ixtiyoriy bir qismiga taqqoslamaning moduliga bo'linadigan har qanday butun sonni qo'shish mumkin.

Isbot. a ≡ b (mod m) va mk ≡ 0 (mod m) bo'lsin. Bu taqqoslamalarni hadma-had qo'shsak, α + mk ≡ b (mod m) hosil bo'ladi.
Masalan, 27 ≡ I2(mod 5) => 27 + 35 ≡ I2(mod 5) => 62 ≡12(mod 5).

1. teorema. Bir xil modulli tαqqoslαmαlαrni hαdlαb ko'pαytirish mumkin.

Haqiqatan, α ≡ b (mod m), c = d (mod m) taqqosla-malar o'rinli bo'lsa, ulardan mos ravishda
α - b = mq_v va c-d= mq₂ tengliklar kelib chiqadi. Bu tengliklar asosida αc-bd=αc-bc + bc- bd≡m(cq_{ + bq₂) tenglikni hosil qilamiz. Demak, ac ≡ bd (mod m) taqqoslama o'rinli (1- teorema).
5- teoremadan taqqoslamaning har ikkala qismini bir xil natural ko'rsatkichli darajaga ko'tarish mumkinligi kelib chiqadi, ya'ni a ≡ b (mod m) aⁿ ≡ bⁿ (mod m).
Taqqoslamalarning amaliyotda keng qo'llaniladigan quyidagi xossalarini isbotsiz keltiramiz:

1. 
   
   taqqoslamaning ikkala qismini biror butun songa ko 'paytirish mumkin;
   
2. 
   
   taqqoslamaning ikkala qismini va modulni biror natural songa ko 'paytirish mumkin;
   

4. 
   
   taqqoslamaning ikkala qismi va modulini ularning umumiy bo'luvchilariga bo'lish mumkin;
   
5. 
   
   agar a va b sonlari m₁, m₂, ..., m_n modullar bo'yicha taqqoslansa, u holda ular K(m₁ m₂ ..., m_n) modul bo'yicha ham taqqoslanadi;
   
6. 
   
   agar d soni m ning bo'luvchisi bo 'lib, a ≡ b (mod m) bo 'Isa, u holda a ≡ b (mod d) bo 'ladi.
   

1. 
   
   m i s o 1. 3³⁰ ni 8 ga bo'lishdan chiqadigan qoldiqni topamiz.
   

Yechish. 3² ≡ (9-8)(mod8)=>(3²)¹⁵≡1¹⁵(mod8) => 3³⁰= l(mod 8) => 3³⁰=8q+1. Demak, izlanayotgan qoldiq r = l.

2. 
   
   misol. Σ = 30⁽ⁿ⁺²⁾ + 23ⁿ⁺¹ + 9ⁿ (nЄ N) sonining 7 ga bo'linishini isbot qiling.
   

3. 
   
   m i s o 1. 2222⁵⁵ⁱ⁵ sonini 7 ga bo'lishda hosil bo'ladigan qoldiqni toping.
   

Yechish. 2222 ni 7 ga qoldiqli bo'lamiz: 2222 = = 7∙317+ 3. Bundan 2222 = 3(mod 7) ni olamiz. Hosil bo'lgan taqqoslamaning bar ikki tomonini 5555- darajaga ko'taramiz:
2222⁵⁵⁵⁵= 3⁵⁵⁵⁵(mod 7).
Bu taqqoslama izlanayotgan qoldiq 3⁵⁵⁵⁵ ni 7 ga bo'lishdan hosil bo'ladigan qoldiq bilan bir xil ekanligini ko'rsatadi. 3⁵⁵⁵⁵ni 7 ga bo'lishda hosil bo'ladigan qoldiqni topamiz. Buning uchun 3 ning dastlabki bir nechta darajalarini 7 ga bo'lishda qanday qoldiqlar hosil bo'lishini kuzataylik:
3¹≡ 3(mod 7); 3²≡ 3 ∙ 3≡9≡ 2(mod 7); 3³ ≡2 ∙ 3≡6(mod 7); 3⁴≡6∙3≡l8=4(mod7); 3⁵≡4∙ 3≡ 12≡5(mod7); 3⁶≡5∙3≡ 15≡l(mod7); 3⁶≡l(mod7) ga ega bo'ldik. Bundan 3^6k≡l^k(mod7), ke N (2) ni olamiz. Endi 5555 ni 6 ga bo'lamiz: 5555 = 6 ∙ 925 + 5. U holda 3⁵⁵⁵⁵= 3^6∙925+5= 3^6∙925

• 
  
  3⁵≡ 1∙3⁵(mod7). Shunday qilib, izlanayotgan qoldiq 5 ga teng .
  

Ratsional sonlar.Butun sonlar . Oddiy kasrlar va ular ustida amallar.