Nematullayev Abduvohid Mustaqil ish Mavzu

 

<

shart bajarilguncha davom 
ettiramiz. 
6) Ildizning taqribiy qiymati uchun x
n
 ni olamiz.

---

Misol.
Iteratsiya usuli bilan 5x
3
-20x+3=0
tenglamani [0,1] intervalda 10
-4
aniqlikda toping. 
Tenglamani F(x)=0 ko’rinishdan 
𝑥 = 𝜓(𝑥) tenglamaga bir necha xil ko’rinishga
o’tkazib olamiz. 
1) 
𝑥 = 𝑥 + (5𝑥
3
− 20𝑥 + 3) bunda 𝜓
1
(𝑥) = 5𝑥
3
− 19𝑥 + 3 
2) 
𝑥 = √
20𝑥−3
5
3
bunda, 
𝜓
2
(𝑥) = √
20𝑥−3
5
3
3) 
𝑥 =
5𝑥
3
+3
20
bunda, 
𝜓
3
(𝑥)=
5𝑥
3
+3
20
𝜓(𝑥) funksiyalarning qaysi biri yaqinlashuvchi ekanligini aniqlab olamiz. Buning 
uchun,
|ψ
′
(x)| < 1 
shartni bajaruvchi ekanligini tekshiramiz. 
[0,1] intervaldan olingan x
0
nuqtani olingan hosilaga qo’yamiz. Masalan, x
0
=0.5; 
𝜓
1
′
(𝑥) = 15𝑥
2
− 19 
𝜓
2
′
(𝑥) =
4
3
(
20𝑥 − 3
5
)
−
2
3
; 
𝜓
3
′
(𝑥) =
3
4
𝑥
2
Iteratsion jarayon yaqinlashuvchanligini tekshiramiz 
{
|𝜓
1
′
(𝑥
0
)| > 1
|𝜓
2
′
(𝑥
0
)| > 1
– uzoqlashuvchi iteratsion jarayon 
|𝜓
3
′
(𝑥
0
)| < 1 – yaqinlashuvchi iteratsion jarayon 
Bundan ko’rishimiz mumkinki, faqat 𝜓
3
(𝑥) funksiya yaqinlashuvchi ekan.
1) 𝑥
1
=
5𝑥
0
3
+3
20
ni hisoblaymiz va |
𝑥
1
− 𝑥
0
| < 𝜀 shartni tekshiramiz. 𝜀 = 0.0001.
2) 𝑥
2
=
5𝑥
1
3
+3
20
|
𝑥
2
− 𝑥
1
| < 𝜀
Bu jarayonni |
𝑥
1
− 𝑥
0
| < 𝜀 shart bajarilguncha davom ettiramiz. 
4. Vatarlar usuli 

---

Vatarlar usuli [a, b] kesmaga to’g’ri keluvchi f(x) egri chiziq yoyini 
tutashtiruvchi vatar OX o’qini shu kesma ichida kesib o’tishiga asoslangan.
Vatarning OX o’qi bilan kesishgan nuqtasi ildizga yaqinroq (1-rasmda x
1
va  ga mos 
nuqtalar). Agar ildiz yotgan kesma sifatida [a, x
1
] yoki [x
1
, b] olinsa, avvalgi [a, b] 
kesmaga nisbatan kichikroq kesma hosil bo’ladi. Yangi kesmada mos f(x) yoyiga 
yana vatar o’tkazib, ilgarigidan ko’ra torroq oraliqni aniqlash mumkin va hokazo. Bu 
jarayonni davom ettirib, ildiz yotgan oraliqni istalgancha kichraytirish mumkin 
bo’ladi. 
Tenglamaning [a, b] ajratilgan ildizini  aniqlikda hisoblash uchun x
0
boshlang’ich 
yaqinlashish tanlab olinadi. Bu 1-rasmda ko’rsatilgandek f(x) funksiyaning birinchi 
va ikkinchi tartibli hosilalarning ishoralariga bog’liq. Agar y'<0 ba y''<0 (1 a-rasm) 
yoki y'>0 va y''<0 (1 d-rasm) bo’lsa x
0
=b, qolgan hollarda x
0
=a qilib olish kerak (1-b 
va 1-c rasmlar). 
a)
b)
c)
d)

---

Ikkinchi, x
0
=b bo’lgan holda x=a qo’zg’almas nuqta bo’ladi. Keyingi yaqinlashishlar 
𝑥
𝑛+1
= 𝑥
𝑛
−
𝑓(𝑎)(𝑥
𝑛
−𝑎)
𝑓(𝑥
𝑛
)−𝑓(𝑎)
(4) 
formula bilan hisoblanadi. 
Yaqinlashish jarayoni |x
n
-x
n-1
|≤ shart bajarilguncha davom etadi. 
Bunda 
𝑥
0
=b