Science and Education

3! _

4! _

2! 3 _ 2! 3 4 _{ 3 3 2  18}

^{3 4} 2!(3  2)! 2!(4  2)! 2!1! 2!1 2
ta 2-tartibli

minorlarni hosil qilish mumkin.

3. 
   tartibli minorlar.
   

_ 4 5 7 7 _

 
A  ^ 2 1 4 3 ^

 
^ 3 7 0 8 ^

4 5 7

M₃ 

2 1 4

3 7 0
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 3-ustunlarni ajratishdan hosil

qilingan 3-tartibli minor.

4 5 7

M₃ 

2 1 3

3 7 8
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 2 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil

qilingan 3-tartibli minor.

4 7 7

M₃ 

2 4 3

3 0 8
1,2 va 3-satrni, hamda 1, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil

qilingan 3-tartibli minor.

5 7 7

M₃ 

1 4 3

7 0 8
1,2 va 3-satrni, hamda 2, 3 va 4-ustunlarni ajratishdan hosil

qilingan 3-tartibli minor.
Boshqa 3-tartibli minor yoq. Formula boʻyicha ham

C³  C³ 

3! _

4! _

1 _ 3! 4 _{ 4}

ta
^{3 4} 3!(3  3)! 3!(4  3)! 0! 3!1!
3-tartibli minorlarni hosil qilish mumkin.

1. 
   ta’rif. ^A matritsaning noldan farqli minorlarining eng kattasining tartibiga
   

matritsaning rangi deyiladi va
rang _ A_  r( A)
koʻrinishida belgilanadi.

Matritsa rangi ta’rifidan bevosita kelib chiquvchi xossalari:

1. 
   Agar ^A matritsa ^{m n} oʻlchovli boʻlsa, u holda
   

rangA  min_m;n_;

2. 
   ^A matritsaning barcha elementlari nolga teng boʻlsa, u holda
   

rangA  0;

3. 
   Agar ^A matritsa ^{n } tartibli kvadrat matritsa va
   

rangA  n.
A  0
boʻlsa, u holda

_ 1 -2 _

 
A  ^ 2 4 ^
 3 -7 ^

2. 
   misol.
   

^{ } matritsa rangini aniqlang.

Yechish. Berilgan matritsa ^{3 2}
oʻlchamli boʻlgani uchun satrlar va ustunlar

sonini taqqoslaymiz va kichigini, ya’ni 2 ni tanlaymiz. Matritsadan ikkinchi tartibli minorlar ajratamiz va ularning qiymatini hisoblaymiz. Bu jarayonni noldan farqli ikkinchi tartibli minor topilguncha davom ettiramiz:
1 2 1 2

M₁ 
2 4
 0,
M ₂  _3
7  1  0.

Berilgan matritsadan noldan farqli eng yuqori ikkinchi tartibli minor ajraldi.

Demak, ta’rifga binoan, ^A matritsa rangi 2 ga teng, ya’ni
rang _ A_  2 _.

Bizga
^Anm

matritsa berilgan bo‘lsin. Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan

foydalanib topish algoritmini;

1. 
   Bu matritsaning eng katta
   

k  min(n, m)

tartibli minorlarini tekshirib

chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu

jarayonni toxtatib matritsaning rangi

r _ A_{nm }  k

ga teng deb olamiz.

2. 
   Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u
   

holda bu matritsaning ixtiyoriy
^aij elementini tanlab, shu element turgan satr va

ustunni ochiramiz. Natijada ^{(n 1) (m1)}- tartibli matritsa hosil bo‘ladi. Bu matritsadagi (k-1) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi
^{r  Anm   k 1} ga teng deb olamiz.

3. 
   Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda bu ( k-2 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Agar bu minorlar orasidan birorta noldan farqlisi topilsa, u holda bu jarayonni to‘xtatib matritsaning rangi
   

^{r  Anm   k  2} ga teng deb olamiz.

4. 
   Agar bu minorlar orasida birorta ham noldan farqlisi mavjud bo‘lmasa, u holda barcha ( k-3 ) tartibli minorlarini tekshirib chiqamiz. Va hakoza shu jaroyon
   

3. 
   misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.
   

_ 1 1 1 2 0 _
A  ^ 2 2 6 0 4 ^
 
^ 4 3 11 1 7 ^
 
Yechish.1) Matritsa noldan farqli 2-tartibli minorni qidiramiz:
1 1

M ₂ 
 2  2  4
2 2 _.

Demak 2-tartibli noldan farqli minor mavjud.
2) Noldan farqli 3-tartibli minorni qidiramiz:

C³  C³ 
3! _ 5! _{ 10}

3 5
Bunday minorlar soni
3! 0! 3! 2! _ta

1 1 1
1 1 2
1 1 2

M₃ 
2 2 6  0
4 3 11 _;
M₃ 
2 2 0
4 3 1
 0 M₃ 
;
2 6 0  0
4 11 1 _;

1 1 0
1 1 0
1 2 0

M₃ 
2 6
4 11
4  0
7 _;
M₃ 
2 6
3 11
4  0
7 _;
M₃  2 0
3 1
4  0
7

teng.
Va hakoza barcha 3-tartibli minorlar nolga teng. Demak matritsaning rangi 2 ga

Matritsaning rangini bevosita ta’rifdan foydalanib topish yuqorida

ko‘rganimizday juda kop hisoblashlarni talab qiladi. Shu sababli matritsa kamroq hisoblashlar bilan topish usullarini korib chiqamiz. Bu usullar 2xil-oʻrab turuvchi minorlar usuli va ekvivalent almashtirishlar yordamida matritsaning rangini hisoblash.

2. 
   Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli.
   

2-ta’rif. ^{k }tartibli minorni o‘z ichiga oluvchi barcha
o‘rab turuvchi minorlar deyiladi.
k  1
tartibli minorlar

Matritsa rangini hisoblashning oʻrab turuvchi minorlar usuli quyidagi teoremaga asoslanadi.
1-Teorema. Agar ^{n  m} oʻlchobli matritsaning biror ^{k } tartibli minorini o‘rab

turuvchi barcha
k  1
tartibli minorlar nolga teng boʻlsa, u holda bu matritsadagi

barcha
^{k  1} tartibli minorlar nolga teng boladi.

3. 
   misol. Quyidagi matritsaning rangini toping.
   

_ 2 1 3 _

 
A  ^ 4 2 6 ^

 
^10 5 15^
Yechish.1) Matritsa noldan farqli, shu sababli 1-tartibli minor sifatida ixtiyoriy elementni, masalan
M₁  2  2
ni olishimiz mumkin. Bu minorni o‘rab turuvchi 2-tartibli minorni qidiramiz:

M ₂ 
^{2 1}  4  4  0
4 2
M ₂ 
;
^{2 3}  12 12  0
4 6 _;

M₂ 
^{2 1}  10 10  0
10 5
M ₂ 
;
2 3
10 15
 30  30  0

Demak
^M1 o‘rab turuvchi barcha 2-tartibli minorlar nolga teng. Bu minorlarni

	2	1	3
M 3 	4	2	6	 0
	10	5	15

o‘rab turuvchi 3-tartibli minorni tekshiramiz:

.

Bundan
r( A)  1_.

O‘rab turuvchi minorlar usulining algoritmi quyidagicha:

1. 
   Agar matritsa noldan farqli bo‘lsa, u holda noldan farqli ikkinchi tartibli minorni qidiramiz. Agar barcha 2- tartibli minorlar nolga teng bo‘lsa, u holda matrirsaning rangi 1 ga teng bo‘ladi.
   
2. 
   Agar hech bo‘lmaganda bitta noldan farqli ikkinchi tartibli minor mavjud bo‘lsa, u holda bu minorni o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarni qurib olamiz. Agar bu o‘rab turuvchi 3-tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u holda matritsaning rangi 2 ga teng bo‘ladi.
   
3. 
   Agar hech bolmaganda bitta noldan farqli uchinchi tartibli minor mavjud bo‘lsa, u holda bu minorni o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarni qurib olamiz. Agar bu o‘rab turuvchi 4-tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lsa, u holda matritsaning rangi 3 ga teng bo‘ladi.
   
4. 
   Va hakoza shu jarayon dabom ettirilib noldan farqli ^{k } tartibli minori
   

topiladi. ^{k }tartibli minor noldan farqli bo‘lib, bu minorni o‘rab turuvchi barcha

k  1
tartibli minorlarning barchasi nolga teng bo‘lganda, matritsaning rangi shu

noldan farqli minorning tartibi ^k ga teng bo‘ladi.
Bu usul hisoblash ishlarini ancha kamaytirish imkoniyatini beradi.

3. 
   misol. Quyidagi matritsaning rangini o‘rab turuvchi minorlar usuli bilan toping.
   

_ 2 1 0 1 3 _
^ 4 2 1 0 1 ^
_{A }  

^ 2 1 1 1
^ 0 0 2 4
4 ^
14 ^

Yechish.
Matritsaning
^a11
 

elementi noldan farqli boʻlganligi sababli bu elementni birinchi

tartibli minor deb qarab, bu minorni oʻrab turuvchi, noldan farqli 2- tartibli minorni qidiramiz:

1).
2 1 _{ 0}

4 2

; 2).
2 0 _{ 2}

4 1 _.

Noldan farqli, bu minorni oʻrab turuvchi barcha 3-tartibli minorlarni qarab chiqamiz.

M₃ 
2 1 0
4 2 1  4  2  0  0  4  2  0
2 1 1 _;

2 1 0
M₃  4 2 1
0 0 2

 8  0  0  0  8  0  0

2 0 1

M₃  4 1 0
2 1 1
2 0 3
 2  4  0  2  0  0  0

M₃  4 1
2 1
2 0
1  8  0  12  6  0  2  0
4
1

M₃  4 1 0
0 2 4
2 0 3
 8  0  8  0  0  0  0

M₃  4 1
0 2
1
14
 28  0  24  0  0  4  0

Yuqoridagi 1-teoremaga kora barcha 3 -tartibli minorlar nolga teng
C³  C³  ^4!  ^5!  4 10  40

^{4 5} 3!1! 3! 2!
ta. Demak berilgan matritsaning rangi 2 ga teng.

3-ta’rif. Matritsa ustida bajariladigan quyidagi almashtirishlarga elementar almashtirishlar deyiladi.

1. 
   Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa koʻpaytirish;
   
2. 
   Matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirish;
   
3. 
   Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshish;
   
4. 
   Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish;
   
5. 
   Matritsani transponirlash.
   

2-Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini oʻzgartirmaydi. Bu teoremani misolda tushinib olamiz.
4-misol. Elementar almashtirishlar bajaring va hosil boʻlgan matritsaning rangini toping.

_ 2 1 0 1 3 _
^ 4 2 1 0 1 ^
_{A }  

^ 2 1 1 1
^ 0 0 2 4
4 ^
14 ^

 
Yechish. Matritsada birinchi satrni - ² ga koʻpaytirib ikkinchi satriga va birinchi

satrni -1 ga koʻpaytirib uchinchi satriga ikkinchi satrni ^3
ga koʻpaytirib, birinchini

ikkinchiga qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni ⁵ ga, uchunchi satrni ³ ga koʻpaytirib, natijalarni qoʻshsak,
_ 3 1 2 1_
^ 0 5 7 4 ^
 
^ 0 1 1 2 ^
 
matritsa hosil boʻladi.
Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi satrni uchunchi satrga qoʻshsak,
_ 3 1 2 1_
^ 0 5 7 4 ^
 
^ 0 0 12 6 ^
 
matritsa hosil boʻladi. Yana
_ 2 3 3 0 _
B  ^ 4 2 4 5 ^
 
^ 2 1 1 5 ^
 
matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,

_ 2
B  ^ 0
3 3 0 _{ } 2
4 2 5 ^  ^ 0
3 3 0 _
4 2 5 ^

   
^ 0 4 2 5 ^{ } 0 0 0 0 ^

hosil boʻladi.

   

^A va ^B matritsaga qoʻllanilgan almashtirishlarning mohiyati quyidagidan iborat: ^m satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin birinchi va uchinchi satrlarni, ..., nihoyat, birinchi va ^{m } satrlarni shunday sonlarga koʻpaytiramizki, tegishli songa koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan boshqa
hamma satrlarga qoʻshganimizda ikkinchi satrdan boshlab birinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Soʻngra ikkinchi satr yordamida keyingi hamma satrlar bilan yana shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan boshlab, ikkinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Undan keyin toʻrtinchi satrdan boshlab uchinchi ustun

elementlari nollarga aylanadi va hokazo. Shu tariqa bu jarayon oxirigacha davom ettiriladi.
Agar matritsaning qandaydir satrlari boshqa satrlari orqali chiziqli ifodalangan boʻlsa, u holda shu almashtirishlar natijasida, bunday satrlarning hamma elementlari nollarga (ya’ni bunday satrlar nol satrlarga) aylanadi.
Birorta elementi noldan farqli satrni nolmas satr, deb atasak, yuqoridagi almashtirishlardan keyin hosil boʻlgan matritsaning rangi nolmas satrlar soniga teng boʻladi, chunki bunday satrlar chiziqli erkli satrlarni bildiradi.
Yuqorida qoʻllaniladigan almashtirishlar matritsani elementar almashtirishlardan iborat boʻlgani uchun, ular matritsaning rangini oʻzgartirmaydi.
3-Teorema. Pog‘onasimon matritsaning rangi uning nolmas satrlari soniga teng.
Ixtiyoriy matritsaning rangini aniqlash uchun yuqorida kо‘rsatilgan qoida bо‘yicha elementar almashtirishlar yordamida matritsa pog‘onasimon matritsaga keltiriladi:

^{ a}11 ^a12
... a_1r
... a_{1k }

^ 0 a
... a
... a ^

A  ^
22 2r
2k _,

^ . . . . . . ^
 0 0 ... a ... a ^

bu yerda

a_ii  0,

i 1,...,r,


r  k.
rr rk 

Pog‘onasimon matritsaning rangi ^r ga teng.

Masalan, yuqoridagi misollarda
r _ A_  3, r _B_  2 _boʻladi.

_ 1 2 1 3 _

5-misol.
A  ^ 3 1 0 7 ^

 

2 3 -1 4
 
^{ } matritsaning rangini aniqlang.

Yechish. Berilgan dastlabki matritsa ustida quyidagicha elementar almashtirishlar bajaramiz:

_ 1 2 1 3 _{ } 1 2 1 3
_{ } 1 2 1 3 _

^ 3 1 0 7 ^ ~ ^ 0 7 -3 2 ^ ~ ^ 0 7 -3 2 ^.
     
^ 2 3 -1 4 ^{ } 0 7 -3 2 ^{ } 0 0 0 0 ^
     
Matritsa pog‘onasimon matritsaga keltirildi. Uchinchi satr barcha elementlari nollardan iborat boʻlganligi sababli, berilgan matritsa rangi ikkiga teng.