Bajardi: 23. 09 guruh tabalasi Mahammadrasulov Bahodir

Ellips, giperbola va parabola sо‘zlari grek tildan olingan bо‘lib, mos ravishda “yetishmaslik” , “ortiqchalik” va “tirkab qо‘yish” ma’nolarini bildiradi.

Ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini о‘rganish atrofimizdagi olam sirlarini о‘rganishda alohida о‘ringa ega. Kepler va Nyutonning ilmiy izlanishlaridan ma’lumki, sayyoralar va osmondagi boshqa jismlar orbitalari ellipsdan iborat. Aylanma shakldagi stakandan suv ichmoqchi bо‘lganimizda kо‘z oldimizda suv sathida ellips paydo bо‘ladi, xirurg lampasining elliptik shakldaligi vrachga barcha yorug‘lik nurini bir nuqtaga tо‘plab beradi. Odamlarning eshitishlari tiniq bо‘lishi uchun saroylar, masjidlar va amfiteatrlarning gumbazlarini qurishda ellips va parabolaning shaklidan foydalaniladi. Chunki bu shakldagi qurilgan gumbazlarda akustika yaxshi bо‘ladi. Biror sharpani yaxshiroq eshitish uchun qо‘limizni quloq yoniga olib kelganimizda beixtiyor qо‘limizni uch ulchamli parabola (paraboloid) shakliga olib kelamiz.

Ushbu geometrik masalalarning hayotdagi va fandagi ahamiyati shundan iboratki, bugungi kun qurilishi va arxitekturasi bino va inshootlarning loyihalarini yaratishda muntazam ravishda geometrik shakl va qoidalardan foydalanishga ehtiyoj sezmoqda. Shuningdek, hozirgi kunda yer yuzidagi davlatlarning kо‘pchiligi tomonidan iste’molga kiritilgan Global joylashuv tizimi (GPS) ning ishlash mexanizmi ham geometriya va trigonometriya qonunlariga asoslanadi. Shu bilan birga, insoniyatning maishiy hayotida muhim о‘rin egallaydigan telefoniya, televideniya, aloqa tarmoqlarida hamda qishloq hо‘jaligi, neft va gaz mahsulotlarini qidirishda, suv, yer va havo transportlarida geometrik qonunlarning ahamiyati beqiyosdir.
Ikkinchi tartibli chiziqlar xossalarining о‘rni fizika fanida muhim ahamiyatga ega, ayniqsa ularning optik xossalari fizika va texnikada keng qо‘llaniladi.
Ellips misolida qarab chiqamiz. Chizuvchi M nuqtadan ikkita harakatlanmaydigan F1va F2 nuqtalargacha bo‘lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas bo’lib qoladigan egri chiziqni qaraymiz. Qog’ozga ikki uchni qo’yib, uni tayanchga mahkam bog’laymiz. Agar ipni qog’ozga vertikal qo’yilgan qalam yordamida tortsak, u holda qalamning o‘tkir tig‘i, ya’ni M nuqta egri chiziqni chizadi. Bu egri chiziq ellips deyiladi.
Ellipsni to’liq shaklini chizish uchun ipni tayanchning boshqa tomoniga o’tkazib, yuqoridagidek ipni tortiladi. Shundan so’ng ellipsning 1-yarmi chiziladi. Ravshanki, qalamning o’tkir tig’i M nuqtadan F1 va F2 tayanchgacha bo’lgan masofalar yig’indisi harakat davomida o’zgarmay qoladi. Bu yig’indi ipning uzunligiga teng. Tayanchga teshilgan ikki nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi. Fokus so’zi lotin tilidan tarjima qilinganda “olov” degan ma’noni anglatadi. U ellipsning navbatdagi ajoyib xossasi bilan tavsiflanadi. Agar yaxshi silliqlangan yupqa metallni ellips yoyi bo’yicha egib, bitta fokusga yorug’lik manbaasini qo’ysak, u holda metalldan qaytuvchi yorug’lik nurlari boshqa fokusda to’planadi. Shuning uchun ikkinchi fokusda ham “olov” ko’rinadi.
Agar ellipsning fokuslari ustma – ust tushsa, u aylanadan iborat bo’ladi.
Ellipsning xossalari.
1. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalar yig’indisi o’zgarmas va 2a ga tengdir.
Bu xossa bevosita xisoblash yordamida r1+r2=2a tenglikni tekshirish bilan isbotlanadi.
2. Ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo’lgan masofalarning mos direktrissalargacha bo’lgan masofalargacha nisbati o’zgarmas va u ellipsning eksentriteti deb ataluvchi e soniga tengdir.
Ellipsning geometrik aniqlanishi. Yuqorida aytilganidek, tekislikda berilgan ikkita nuqtalargacha bo’lgan masofalarning yig’indisi o’zgarmas bo’ladigan nuqtalarning geometrik o’rni ellips bo’ladi.
Tekislikda F1, F2 nuqtalar berilgan. Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarni mos ravishda r1, r2 ko’rinishida belgilab r1+r2=const=2a
tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rnini aniqlashimiz kerak. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani 2c bilan belgilasak, r1+r2>2c
tenglikdan a > c munosabat kelib chiqadi. Tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan F1, F2 nuqtalardan o‘tuvchi to’g’ri chiziqni absissa o’qi sifatida olamiz, unda musbat yo’nalish F1 nuqtadan F2 nunqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi. Koordinata boshini F1, F2 nuqtalarning o’rtasiga joylashtirib, ordinata o’qi sifatida absissa o’qiga perpendikulyar ixtiyoriy o’qni olamiz va ellipsning tenglamasi Oxy dekart koordinata sistemasida

ko’rinishda bo’lishiga ishonch hosil qilamiz.

Bunda a – katta yarim o’qning, b – kichik yarim o’qning uzunligidan iborat.

Konus kesimlari

Konus kesimlari - toʻgʻri doiraviy konus sirtnn uning uchidan oʻtmaydigan tekislik bilan kesganda hosil boʻladigan chiziqlar. SA yasovchi S dan farqli ixtiyoriy M nuqtani olib, u orqali konus oʻqiga perpendikulyar a, tekislik oʻtkazilsa, kesimda a y l a n a , ST ga perpendikulyar boʻlmagan va hamma yasovchilarni kesuvchi a2 tekislik oʻtkazilsa — ellips, biror yasovchi (mas, 5V)ga parallel boʻlgan a3 tekislik oʻtkazilsa parabola, ikkita yasovchiga parallel boʻlgan a4 tekislik oʻtkazilsa giperbola hosil boʻladi. M nuqtadan oʻtuvchi ixtiyoriy tekislik uchta yasovchiga parallel boʻla olmaganligi sababli, doiraviy ko-nusning kesimida boshqa chiziq hosil boʻlmaydi.
Kesim ellips va parabola boʻlganda kesuvchi tekislik doiraviy konus sirtning bir qismini, giperbola boʻlganda ikkala qismini kesib oʻtadi. Konus kesimining ixtiyoriy M nuqtasi uchun df.di nisbat oʻzgarmas boʻladi. Bu nisbatning qiymati X konus kesimining ekssentrisiteti deyiladi.
Konus kesimlari ikkinchi tartibli chiziqlardir. Konus kesimlari haqidagi izchil asar birinchi marta iskandariyalik olim Appoloniy Pergskiy tomonidan yozilgan (miloddan avvalgi 3-asr). 19-asrda belgiyalik matematik Dandelen Konus kesimlarini konus sirtga ichki chizilgan sfera yordamida toʻla oʻrgangan. Konus kesimlari astronomiya va texnikada keng qoʻllaniladi. Mas, projektor vareflektorlarda parabolik koʻzgular ishlatiladi. Quyosh sistemasidagi sayyoralar Konus kesimlari boʻylab harakatlanib, uning fokuslaridan birida Quyosh turadi. Kometalar parabola va giperbola boʻylab harakatlanadI.

Konus sirt

Konus sirt — qoʻzgʻalmas S nuqtadan oʻtuvchi SM toʻgʻri chiziqning biror L egri chiziq boʻylab sirpanishidan hosil boʻladigan sirt. 5nuqta Konus sirtning uchi, SM toʻgʻri chiziq yasovchisi, L egri chiziq yoʻnaltiruvchisi deyiladi. Agar Konus sirtning yoʻnaltiruvchisi aylana boʻlib, S ni aylana markazi O bilan tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq aylana tekisligiga tik boʻlsa, u doiraviy Konus sirt deb, 05 toʻgʻri chiziq esa Konus sirtning oʻqi deb ataladi. Dekart koordinatalar tizimida tenglama yoʻnaltiruvchisi ellips boʻlgan Konus sirtni ifodalaydi: