Bərabərliyi və -in ixtiyari ədədi qiymətində ödənərsə,buna eynilik deyəcəyik

2.DÜZ XƏTTİN BUCAQ ƏMSALI TƏNLİYİ.

İKİ DÜZ XƏTTİN QARŞILIQLI VƏZİYYƏTİ



Müstəvi üzərində afin koordinat sisteminin təyin olunduğunu fərz edək.Koordinat başlanğıcından keçməyən və koordinat oxlarından heç birinə paralel olmayan düz xəttinin tənliyini çıxarmaq üçün,onun hər hansı bir nöqtəsinin və bucaq əmsalının verildiyini fərz edəcəyik.Düz xətt oxlardan heç birinə paralel olmadığından, oy oxunu hər hansı bir nöqtəsində kəsəcək. düz xəttinin nöqtəsinin və bucaq əmsalının köməkliyi ilə tənliyini yazaq.(Şəkil.5)

Şəkil 5
düz xəttinin tənliyini yazmaq üçün,onun -dən fərqli ixtiyari nöqtəsini

ilə işarə edək.Onda vektoru düz xəttinin istiqamət verici vektoru olacaq.Vektorun başlanğıc və son nöqtələrinin koordinatları verildikdə, öz koordinatlarını tapa bilərik: = olacaqdır.Bucaq əmsalının tərifini yadımıza salsaq

(1)

alarıq.

Bu onu göstərir ki, düz xəttinin bütün nöqtələrinin koordinatları, (1) tənliyi ilə ekvivalent olan

(2)

tənliyi ödəyir.

Əksinə,koordinatları (1) tənliyini ödəyən ixtiyari ,nöqtəsi düz xətti üzərindədir. Doğrudan da, düz xətti üzərində x₁ absisinə malik olan yeganə nöqtəsi vardır ki, həm də nöqtəsinin absisidir. nöqtəsi nöqtəsinin koordinatları (1) tənliyini ödədiyindən onun ordinatı olur.Bu da nöqtəsinin ordinatı olduğundan, nöqtəsilə nöqtəsi üst-üstə düşür.Buradan nöqtəsinin düz xətti üzərində yerləşdiyinin alırıq.

Nəhayət alırıq ki, (1) tənliyini yalnız və yalnız düz xəttinin koordinatları ödəyir.Bu da (1) tənliyinin düz xəttinin tənliyi olduğunu göstərir.Düz xəttin (2) şəkildə tənliyinə düz xəttin bucaq əmsallı tənliyi deyilir.

Qeyd:Bundan sonra nöqtənin koordinatları tənliyi ödəyir əvəzində nöqtə tənliyi ödəyir də deyəcəyik.

oy oxuna paralel olmayan düz xəttin bir nöqtəsi və bucaq əmsalı k verilmişdir.Onun tənliyini yazmalı.Fərz edək ki,düz xətt oy oxuna paralel deyil.Düz xətt oy oxuna paralel olmadığından onun tənliyini (2) kimi yazmaq olar. nöqtəsi bu düz xəttin üzərində olduğundan,

(3)

ödənir.

(2)-dən (3)-ü çıxsaq

(4)

alırıq ki,bu, M₀ nöqtəsindən keçən və k bucaq əmsalına malik olan düz xəttin tənliyidir.

Aşağıdakı

(5)

(6)

tənliklərilə uyğun olaraq və düz xətlərinin təyin olunduqlarını fərz edək.Bu düz xətlərin nə vaxt dar mənada və nə vaxt geniş mənada paralel olduqlarını, nə vaxt yalnız bir ortaq nöqtəyə malik olduqlarını,(kəsişdiklərini) izah edək.

Düz xətlər heç bir ortaq nöqtəyə malik olmadıqda və ya üst-üstə düşdükdə belə düz xətlərə,paralel düz xətlər deyilir (düz xətlərin heç bir ortaq nöqtəsi olmadığı hala dar mənada paralelik kimi baxacayıq).

və düz xətləri yalnız və yalnız istiqamətverici vektorları , kolinear olduqda,paralel olurlar. və vektorları isə tənasübü ödəndikdə və ya

(7)

tənasübü ödəndikdə kollinear olurlar.

(7) tənasübü ilə birlikdə

(8)

tənasübü də ödənərsə, və düz xətləri üst-üstə düşür.Belə olduqda (5) və (6)

tənliklərinin birinin əmsallarını eyni bir sıfırdan fərqli ədədə vurmaqla digərinin əmsallarını almaq olar. Deməli, (5) və (6) tənlikləri ekvivalentdir.Yəni bu tənliklərdən birini ödəyən ixtiyari nöqtəsi digərini də ödəyir.

Əksinə, və düz xətləri üst-üstə düşürsə, (8) tənasübü ödənilir.Bunu isbat edək.

Əvvəlcə təklifi və düz xətlərinin ordinat oxuna paralel olduqları hal üçün isbat edək. Düz xətlər ordinat oxuna paralel olduqları üçün olacaqdır.Deməli, tənasübünün ödəndiyini isbat etmək lazımdır.

və düz xətləri üst-üstə düşdüyündən bu düz xətlər absis oxunu eyni bir absisinə malik ( üçün) nöqtədə kəsəcəklər.Bu hal üçün tənasübün doğruluğu isbat edildi.

İndi fərz edək ki, üst-üstə düşən və düz xətləri ordinat oxuna paralel deyildir.Onda bu düz xətlərin hər ikisi ordinat oxunu eyni bir ordinata malik bir E nöqtəsində kəsəcəklər ki,buradan tənasübünü alırıq.Bu tənasüb, və düz xətlərinin paraleliklərini göstərən (7) tənasübü ilə birlikdə (8) tənasübünü verir.

və düz xətlərinin ortaq nöqtəyə malik olmadıqları hal, (6) tənasübünün ödəndiyi (7) tənasübünün ödənmədiyi (düz xətlər üst-üstə düşmədiklərindən) hala uyğundur.Deməli,bu halda (7) tənasübü ödənir,lakin (8) tənasübü ödənmir,yəni

(9)

olur.

(7) və (9) bərabərliklərini birlikdə

(10)

kimi yazırlar.

Beləliklə biz göstərdik ki, (5) və (6) tənlikləri yalnız və yalnız (8) tənasübü ödəndikdə eyni bir düz xətti təyin edirlər.

(5) və (6) tənliklərinin paralel düz xətləri təyin etmələri üçün zəruri və kafi şərt (7) tənasübünün ödənməsidir (düz xətlər üst-üstə düşə bilərlər).

(5) və (6) düz xətlərinin paralel olması (heç bir ortaqnöqtəyə malik olmamaları) üçün (7) və (9) tənasüblərinin ödənməsi zəruri və kafi şərtdir.

və düz xətləri uyğun olaraq

(11)

(12)

tənliklərilə verilsin.

Bu iki düz xəttin ortaq nöqtəsi varsa,həmin nöqtə eyni zamanda həm (11) və

həm də (12) tənliyini ödəyir.Tərsinə,hər hansı bir nöqtəsi eyni zamanda həm (11) və həm də (12) tənliyini ödəyirsə, nöqtəsi bu iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsidir.

Deməli,bu iki düz xəttin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün (11) və (12) tənliklərini bir sistem kimi həll etmək lazımdır.Bu sistemi həll etdikdə aşağıdakı hallar ola bilər.

(1) Məchulların əmsallarından düzəldilmiş iki tərtibli determinant

Bu halda (11) və (12) tənliklərindən düzəldilmiş sistem yeganə həllə malik olar.Bu sistem

yeganə həllə malik olar.Bu sistemi həll edib,həmən nöqtəni taparıq.

(2)Məchulların əmsallarından düzəldilmiş ikitərtibli determinant yəni

və olsun.Belə olduqda (11) və (12) düz xəttləri heç bir ortaq nöqtəyə malik deyillər (dar mənada paraleldirlər).Bu halda düz xətlər kəsişmir.

(3) , başqa sözlə .Bu halda (11) tənliyinin həllərinin

hamısı həm də (12) tənliyinin həlləri olur.Yəni (11) və (12) tənlikləri eyni bir düz xəttin tənliyi olur.Bu halda kəsişmə nöqtələri sonsuz sayda olur.

Tərsinə, (11) və (12) düz xətləri yalnız bir ortaq nöqtəyə maliksə, . (11) və (12) düz xətləri paraleldirsə (dar mənada), və nəhayət, (11) və (12) düz xətləri üst-üstə düşürlərsə, olacaqdır.