Berdaq nomidagi Qaraqalpoq davlat unversiteti

1-§ Topologik fazolarning tarifi
Metirik fazolarning asosiy tushunchalari (limit nuqta,to’plamning yopilmasi va hokazo) atrof hamda ochiq to’plam tushunchalari yordamida kiritilgan edi. Bunda atrof va ochiq to’plamlar ko’rilayotgan fazoda berilgan metrika bilan aniqlangan edi. Umuman, berilgan to’plamda ochiq to’plamlar sistemasini aksiomalar yordamida bevosita kiritish mumkin.


Tarif. T to’plamdagi topologiya deb, X ning qism to’plamlaridan iborat va quydagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi τ sistemaga aytiladi:

.X τ, ;

. Agar bo’lsa, u holda
bu yerda indekslar to’plami I ixtiyoriy;

. va n ixtiyoriy natural son bo’lsa, u holda .

(X,τ) juftlik topologic fazo deb ataladi. Xning τ sistemaga tegishli bo’lgan qism to’plamlari ochiq to’plamlar deb ataladi. Shunday qilib, topologik fazoni berish – bu biror X to’plamni olib, unda τ topologiyani kiritish , yani X ning ochiq to’plam deyiladigan qism to’plamlarni aniqlash, demakdir. Topologik fazoning elementlari uning nuqtalari deb ham ataladi.
Bitta X to’plamda turli xil topologiyalar kiritish mumkin bo’lib, bunda turli topologik fazolar hosil bo’ladi.

va sistemalar X dagi ikkta topologiya bo’lsin. Agar munosabat o’rinli bo’lsa, topologiya topologiyaga nisbatan kuchliroq topologiya deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Bu holda topologiyani topoplogiyaga nisbatan kuchsizroq (sustroq) ham deyiladi.

Topologik fazolardagi boshlang’ich fundamental tushinchalar ro’yxatini keltiramiz:

• nuqtaning atrofi –shu n uqtani o’z ichiga oluvchi ixtiyoriy ochiq to’plam;

  
  

• to’plamning urinish nuqtasi –ixtiyoriy atrofi M to’plamning kamida bitta elementi mavjud bo’lgan nuqta ;

  
  

• to’plamning yopilmasi ning barcha urinish nuqtalar to’plami;

  
  

• to’plamining limit nuqtasi –ixtitoriy atrofida o’zidan boshqa M to’plamining kamida bitta nuqtasi mavjud bo’lgan nuqta;

  
  

• to’plamning hosila to’plami ning barcha limit nuqtalar to’plami;

  
  

• to’plamning ichi to’plamdagi barcha ochiq qism to’plamlar birlashmasi;

  
  

• fazaoning hamma yerida zich to’plam –yopilmasi fazoga teng bo’lgan to’plam ;

  
  

• Separabel fazo-hamma yerda zich sanoqli qism to’plamga ega fazo;

  
  

• Berilgan to’plamning qism to’plamlaridan iborat turli sistemalar topologiya shartlarini qanoatlantirishi, yani to’plamda turli topologiyalar kiritilishi mumkin. Bunda turli topologiya fazolar hosil bo’ladi .

  
  

• Misollar.

  
  

1. Har qanday metrik fazodagi ochiq to’plamlar sistemasi topologiyaning aksiomalarini qanoatlandiradi. Demak, ixtiyoriy metrik fazo tabiiy ravishta topologic fazo hamdir.

2. X ixtiyoriy to’plam va uning barcha qisim to’plamlari sistemasi bo’lsin,deb faraz qilaylik. Unda (X,τ) topologic fazodir. X dagi bunday topologiya diskret topologiya deyiladi.
3. X to’plamda faqat bilan X dan iborat sistema ham topologiya hosil qiladi (antidiskret topologiya).
Yoqorida keltirilgan 2- misoldagi topologiya X to’plamdagi barcha topologiyalarning eng kuchlisidir, 3-misoldagi topologiya esa bular orasida eng kuchsizidir.
4. Ikki elementan iborat X= to’plamda hammasi bo’lib to’rtta topologiya mavjud. Ular quydagilardir :

= , = ,

= , = .