Berdaq nomidagi Qaraqalpoq davlat unversiteti

2-§ Ochiq va yopiq to’plamlar

Tarif. Agar topologic fazoda biror A va U to’plamlar uchun A U munosabatni qanoatlantiruvchi G ochiq to’plam mavjud bo’lsa,U to’plam A to’plamning atirofi deyiladi. Xususan, A= bo’lsa ,u holda U to’plam nuqtaning atirofi deyiladi.

1-Teorema. Topologik fazoda A to’plam ochiq bo’lishi uchun u o’zining har bir nuqtasining atirofi bo’lishi zarur va kifoya.

Isbot. Ravshanki, agar Aochiq to’plam bo’lsa, u o’zining har bir nuqtasining atirofidir.
Aksincha, agar ixtiyoriy uchun shunday ochiq to’plam mavjud bo’lib, munosabat bajarilsa, u holda A= . Demak, A to’plam ochiq to’plamlarning yig’indisi sifatida topologiyaning aksiomasiga asosan ochiqdir.
Topologik fazodagi x nuqtaning barcha atiroflari sistemasini B(x) bilan belgilaymiz.
Algebraik sistemalarda (masalan, gruppa, halqa, vector fazolarda) odatda topologiya nuqtalarning atiroflari sistemasi orqali kiritiladi. Bunday kiritilishning qanuniyligi quydagi teoremadan kelib chiqadi.


2-Teorema. B(x) sistema quydagi xossalarga ega :

1. ixtiyoriy U uchun U;

   
   

2. agar U va U bo’lsa ,u holda V ;

   
   

3. Agar U, V bo’lsa ,U V ;

   
   

4. Har bir V uchun shunday W mavjudki, barcha y lar uchun V munosabat o’rinli .

   
   

Aksincha, agar X to’plamning har bir x elementiga X ning qisim to’plamlaridan iborat va 1)-4) shartlarni qanoatlantiruvchi B(x) sistema mos qoyilgan bo’lsa , u holda X to’plamda shunday yagona topologiya mavjudki, bu topologiyada har bir x elementining barcha atiroflari sistemasi B(x) dan iboratdir.

Isbot. Agar B(x) sistema x nuqtaning barcha atiroflari sistemasi bo’lsa , u holda 1)-3) xossalar osongina ko’rsatiladi. 4) xossani isbotlaymiz. V to’plam uchun ushbu munosabatni qanoatlantiruvchi W ochiq qism to’plam mavjuddir. W ochiq to’plam bo’lgani uchun y o’zidagi har bir nuqtaning atirofidir .Demak, barcha y uchun W Bundan esa 2) xossaga ko’ra ixtiyoriy y uchun ushbu V munosabat o’rinli , yani 4) -xossa isbotlandi .
Aksincha, B(x) sistema 1)-4) shartlarni qanoatlantirsin. X da τ topologiyani quydagicha kiritamiz: agar ixtiyoriy uchun munosabat o’rinli bo’lsa, A to’plamni ochiq deymiz va bo’sh to’plamni ham ochiq deb hisoblaymiz. Demak,

.

Agar bo’lsa ham τ ga tegishli bo’ladi.

Ixtiyoriy to’plamlarni olamiz. Agar bo’lsa, ravshanki

.

holni ko’ramiz. Ixtiyoriy elementni olamiz.τ ning tarifiga asosan . Agar , …, bo’lsa , matematik induksiya metodini qo’llab, τ ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, τ sistema X dagi topologiyadir.

Endi har bir uchun B(x) sistema x elementning topologiyadagi barcha atiroflari sistemasidan iborat ekanligini ko’rsatamiz.
U toplam x elementining τ topologiyadagi biror atirofi bo’lsin. U holda shunday A ochiq to’plam mavjudki A . Ravshanki, B(x) va, demak,2) ga asosan . Endi har bir to’plam x nuqtaning τ topologiyadagi atirofi ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun shartni qanoatlantiruvchi va τ topologiyada ochiq bo’lgan U to’plam mavjudligini ko’rsatish kerak. U ni quydagicha kiritamiz:

.
Ravshanki, Endi va τ ekanligini ko’rsatamiz. 1) shartdan har bir element V ga tegishli ekanligi kelib chiqadi, yani

Ixtiyoriy olamiz. 4) shartga asosan shunday mavjudki, munosabat barcha lar uchun o’rinlidir. munosabat esa z ning U ga tegishli ekanligini ko’rsatadi, demak, 2) shartga binon yani va shuning uchun V to’plam x nuqtaning τ topologiyadagi atrofidir.
Shunday qilib, kiritilgan τ topologiya uchun sistema x nuqtaning barcha atroflari sistemasidir.
Endi biror topologiya uchun ham sistema x nuqtaning topologiyadagi atiroflari sistemasi bo’lsin .
1-Teoremaga asosan
.

.
Demak, τ= .

Tarif. X topologik fazoning har ikkita turli x va y nuqtalarining o’z aro kesishmaydigan mos ravishda va atiroflari mavjud bo’lsa, bunday topologik fazo Xausdorf fazosi deyiladi; uning topologiyasi esa ajiratishning aksiomasini qanoatlantiruvchi topologiya deyiladi.
Masalan, ixtiyoriy metrik fazo Xausdorf fazosidir. Bunda , atroflar sifatida mos ravishda shartlarni olish mumkin. Xausdorf fazosi bo’lmagan fazoga misol sifatida elementlari ikkitadan ko’b bo’lgan antidiskret topologiyali fazoni olish mumkin .
2-Teoremadan ko’rinadiki, X to’plamda topologiyani uning har bir nuqtasi natroflari sistemasi ni berish orqali kiritish orqali kiritish mumkin .

Tarif. x nuqtaning atiroflari sistemasidan biror qismini olamiz. Agar x nuqtaning har bir atrofi uchun munosabatni qanoatlantiruvchi to’plam mavjud bo’lsa, u holda shu nuqta atroflari sistemasining bazisi deyiladi.

Misol. Metrik fazoda barcha , sharlar to’plami x nuqtaning atroflari sistemasi uchun bazis tashkil etadi , xususan , tog’ri chiziqdagi barcha intervallar sistemasi x nuqtaning atroflari sistemasi uchun bazisdir.

Tarif. topologik fazo bo’lsin .Agar to’plam uchun ochiq to’plam bo’lsa (yani ), M yopiq to’plam deyiladi.
Topologiya tarifidan yopiq to’plamlarning quydagi xossalari kelib chiqadi:
1) yopiq to’plamlar;
2) soni ixtiyoriy yopiq to’plamlar kesishmasi yopiq to’plamdir;
3) soni chekli yopiq to’plamlar yig’indisi ham yopiqdir.
Bu xossalar quydagi duallik printsplarining natijasidir ;

;
Ixtiyoriy M to’plam berilgan bo’lib, biror nuqtaning har bir U atrofi M to’plam bilan bo’sh bo’lmagan umumiy qismga ega bo’lsa, u holda x nuqta M ning urinish nuqtasi deyiladi.