Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

I BOB. ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN CHEGARAVIY MASALALAR
1.1- §. Chegaraviy masalalar haqida umumiy tushuncha

Agar integral egri chiziqning berilgan ikki nuqtadan o’tishi talab etilsa, bu masala Koshi masalasidan farq qilib , berilgan ikki nuqtaning har biri uchun alohida olingan Koshi masalasi yechimga ega bo’lsa ham, bu qo’yilgan masala yechimga ega bo’lmasligi mumkin.

Birinchi tartibli differensial tenglama uchun masala qisqacha

= , = , = (1)

kabi yozilishi mumkin. Agar = shartni qanoatlantiradigan yechim mavjud bo’lsa, u yechim = shartni ham qanoatlantiradimi yoki yo’qmi? Degan savolga javob berish lozim bo’ladi. Bu holda tegishli savolga bevosita tekshirish bilan javob berish mumkin. Masalan, = , =1, =1 masala yechimga ega emas. Haqiqatan, berilgan tenglamaning umumiy yechimi, shartga ko’ra, va Demak, yechim shartni qanoatlantiradi. Ammo bu funksiya shartni qanoatlantirmaydi, chunki Shunga o’xshash , ushbu masala yechimga ega. Bu yuqoridagi mulohazalardan ko’rinib turibdi (1-chizma).

Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun masala qo’yilishi mumkin. Bu masalada integral egri chiziq nuqtadan qanday burchak koeffitsiyent bilan o’tishi avvaldan berilgan emas.

y

y




1

)

)

1

)









x

0



0

1 chizma. 2 chizma.

Misol sifatida ushbu masalani tekshiraylik. Berilgan tenglama xarakteristik tenglamasining ildizlari va umumiy yechim dan iborat. Bundan shartni qanoatlantiradigan yechim ekani kelib chiqadi. Agar berilgan ixtiyoriy butun son) bo’lsa , ixtiyoriy bo’lganda ham). Agar bo’lsa, u holda dan , Tegishli yechim dan iborat. Ko’rilayotgan masala yechimga ega. Ammo shartlarni qanoatlantiradigan trivial bo’lmagan yechim esa mavjud emas. Buning isboti bo’lganda dan ko’riladi. Agar berilgan chiziqli tenglamaning trivial yechimini olsak , bu yechim uchun berilgan ixtiyoriy son) shartlar qanoatlantiriladi (2-chizma).

Yuqorida qo’yilgan va Koshi masalasidan farq qiladigan masala ikki nuqtali chegaraviy yoki baribir , chetki masala deb yuritiladi. Masala bundan umumiyroq ko’rinishda ham qo’yilishi mumkin.

1.2-§. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar uchun

chegaraviy masalalar

1. 
   Ikki nuqtali chegaraviy masala. Ushbu
   

(2) tenglamaning

(3)

shartlarni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi (2) tenglama uchun ikki nuqtali chegaraviy masala deb yuritiladi. (2) (3) masalani o’zgaruvchini almashtirish bilan soddalashtirish mumkin. Chunonchi,

deb almashtirish bajarsak ga ega bo’lamiz. Bu aralashtirish natijasida (2) tenglama yana ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga o’tadi. Bunga bevosita hisoblash bilan ishonch hosil qilish mumkin.

Ko’pincha (2) tenglamani tekshirishga qulay bo’lgan boshqa ko’rinishga yoziladi. Agar (2) ning ikki tomonini funksiyaga ko’paytirsak,

(4)

ko’rinishidagi tenglamaga ega bo’lamiz. Yuqoridagi mulohazani e’tiborga olib (4) tenglama uchun

(5)

shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini qo’yishimiz mumkin.

Agar bo’lsa, (4) (5) masala bir jinsli bo’lmagan, bo’lganda esa bir jinsli masala deb yuritiladi.

2. 
   (4) (5) masala uchun Grin funksiyasi. Ikki argumentli funksiya quyidagi to’rtta shartni qanoatlantirsi:
   

funksiya 𝑥 bo’yicha intervalda uzluksiz bo’lib, tayinlangan va ;

funksiya intervalda dan boshqa barcha nuqtalarda ushbu

bir jinsli tenglamaning yechimidan iborat;

funksiya

chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;

nuqtada hosila birinchi tur uzilishga ega bo’lib, uning sakrashi ga teng , ya’ni

yoki

.

Bu holda funksiya qo’yilgan (4) (5) chegaraviy masalaning Grin funksiyasi deb ataladi.

Teorema. Agar (4) (5) maslaning Grin funksiyasi ma’lum bo’lsa , bu masalaning yechimi

(6)

formula bilan yoziladi, aksincha agar funksiya qo’yilgan masalaning yechimi bo’lsa , uni (6) ko’rinishida ifodalash mumkin (bu yerda uzluksiz funksiya).

Isbot. Haqiqatan, (6) formula bilan aniqlangan funksiya chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, chunki Grin funksiyasining ta’rifiga ko’ra va , Endi (6) formula bilan aniqlangan funksiya (4) tenglamaning yechimi ekanini ko’rsatamiz. Buning uchun avval (6) ni quyidagicha yozamiz:

Bundan , hosilalarni hisoblaymiz:

larning qiymatini (4) ga qo’ysak,

Endi qo’yilgan (4) (5) masalaning yechimi mavjud bo’lsa, uni (6) formula bilan yozilisini isbotlaylik. qo’yilgan (4) (5) masalaning yechimi bo’lsin, bu masalaning Grin funksiyasi ( mavjudligini keyinroq ko’rsatamiz) bilan belgilaylik. (4) tenglamani ga,

Tenglamani ga ko’paytirib , birinchisidan ikkinchisini ayiramiz:

Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallaymiz (bunda funksiya bo’lganda birinchi tur uzilishga ega va funksiyalar (4.5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi):

Bundan chegaraviy shartlar va Grin funksiyaning xossasini e’tiborga olib ,

yoki

ni hosil qilamiz.

ni bilan almashtirsak :

hosil bo’ladi.

Qo’yilgan masalaning Grin funksiyasi o’z argumentlariga nisbatan simmetrikdir, ya’ni

Buni e’tiborga olsak, oxirgi munosabatdan (4.6) kelib chiqadi. Endi ning simmetrikligini ko’rsatish qoldi. Buning uchun

belgilanishni kiritamiz. Ixtiyoriy funksiyalar uchun quyidagi

(7)

Grin formulasi o’rinli bo’ladi. Bu formulada desak bo’ladi. Integrallash sohasi ni 3 bo’lakka , ya’ni

ga bo’lib, (4.7) ni integrallasak:

tenglikni hosil qilamiz. Bu yerdan Grin funksiyasining xossalarini e’tiborga olsak , quyidagiga ega bo’lamiz:

yoki

yoki

Bundan

Shu bilan teorema to’la isbot bo’ldi.

Endi qo’yilgan masalaning Grin funksiyasini tuzish bilan shug’ullanamiz. Bundan Grin funksiyasining mavjudligini ta’minlaydigan yetarli shartlar kelib chiqadi.

Ushbu

(8)

bir jinsli tenglamaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimin bo’lsin.

(8) tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini deb belgilaylik, bunday yechim mavjud , chunki va lar nuqta atrofida uzluksiz. Bu yechim, umuman olganda, ikkinchi chegaraviy shartni qanoatlantirmaydi.

Ma’lumki, (bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas son) funksiya chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Xuddi shunga o’xshash tenglamaning chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivial bo’lmagan yechimi ni topamiz. ham chegaraviy shartni qanoatlantiradi ( bu yerda ixtiyoriy o’zgarmas son).

Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Bu yerdagi va larni shunday topamizki, natijasida Grin funksiyasi va shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni 1) funksiya tayinlangan uchun bo’yicha uzluksiz bo’lsin, xususiy holda da uzluksiz:

(9)

va 2) funksiya nuqtada uzilishga ega bo’lib, uning sakrashi ga teng bo’lsin:

(10)

Ravshanki, funksiya bilan chiziqli bog’liq bo’lgan funksiyalar ko’rinishga ega bo’ladi. bo’lganidan bo’ladi. Shu bilan birga Bulardan va larning chiziqli erkliligi kelib chiqadi. Demak, mos Vronskiy determinanti

tekshirilayotgan nuqtada noldan farqli bo’ladi. Shuning uchun (9), (10) sistemadan va larni topamiz:

.

Bularni e’tiborga olsak, Grin funksiyasi

ko’rinishga ega bo’ladi. (7) formuladan const ekanligi kelib chiqadi. va xususiy yechimlarni shunday tanlash mumkinki, natijada bo’ladi. Bu holda qo’yilgan masalaning Grin funksiyasi

formula bilan beriladi. Bu formuladan qo’yilgan masala uchun Grin funksiyasining simmetrikligi ko’rinib turibdi.

Misol. Quyidagi

Chegaraviy masalaning Grin funksiyasini toping.

Yechish. Eng avval tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz. So’ngra shu bir jinsli tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimni topamiz. Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Grin funksiyasi nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun

Munosabatga, hosilasi esa nuqtada uzilishga ega bo’lgani uchun ni hisobga olsak,

Munosabatga egamiz. Bu ikki tenglama sistemasidan larni hosil qilamiz. Demak, yig’ilga masalaning Grin funksiyasi

formula bilan ifodalanadi.

Eslatma. Biz tenglamaning shartlarni qanoatlantiruvchi trivial bo’lmagan yechimi mavjud emas deb faraz qildik. Bu shart qo’yilgan (4) (5) masala yechimining mavjudligini va yagonaligini ta’minlash bilan birga , qo’yilgan masala Grin funksiyasining yagonaligini ham ta’minlaydi.

Haqiqatdan, qo’yilgan (4) (5) masalaning ikkita Grin funksiyalari mavjud deb faraz qilsak, mos ravishda ikkita har xil yechimni yozish mumkin:

Bularning ayirmasidan iborat ushbu

funksiya bir jinsli tenglamani va (5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bu esa farazimizga qarama-qarshidir. Demak, Endi yuqorida qo’yilgan chegaraviy masalaning Grin funksiyasi ga va masalaning ushbu

yechimiga fizik ma’no beramiz. Buning uchun erkli o’zgaruvchi ni bilan belgilaymiz.

Fizikaning ko’p masalalarida

(4’)

tenglamaning yechimi biror mexanik sistemaning intervalda uzluksiz taqsimlangan kuch ta’sira ostida siljishini ifodalaydi ( bu yerda vaqt).

Faraz qilaylik , bo’lganda sistema tinch turgan bo’lsin, uni kuch ta’sirida siljitaylik, bu yerda kuch faqat oralig’ida noldan farqli bo’lib qolgan nuqtalarida nolga teng, shu bilan birga kuch impulsi ga teng:

Endi orqali

chegaraviy masalaning yechimini belgilaymiz. Demak,

formula o’rinli. O’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llasak:

Demak,

1.3 . Umumlashgan Grin funksiyasi

Biz yuqorida masala trivial bo’lmagan yechimga ega emas deb qabul qildik. Ko’p hollarda bu masalaning trivial bo’lmagan yechimi mavjud bo’ladi , ya’ni shunday funksiya topiladiki, bo’ladi. Bu holda oddiy Grin funksiyasini tuzish mumkin bo’lmay, deb ataladigan funksiyani tuzishga to’g’ri keladi. Keyingi mulohazalarda deb yuqorida eslatilgan masalalaning trivialmas yechimini belgilaymiz, funksiyasi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

funksiya argumenti bo’yicha intervalda uzluksiz , tayinlangan va

funksiya bo’yicha va intervallarning har birida

tenglamani qanoatlantiradi;

yoki

.

( va funksiyalarning ortogonallik sharti).

Yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya berilgan (4) (5) masalaning deb ataladi.

Umumlashgan Grin funksiyasini tuzish oddiy Grin funksiyasini tuzish kabi bajariladi.

funksiya tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan normallashgan yechim bo’lsin. esa tenglamaning biror xususiy yechimi bo’lsin. U holda oxirgi tenglamaning umumiy yechimini

ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda funksiya tenglamaning bilan chiziqli erkli yechimi. ni shunday tanlash mumkinki,

tenglik o’rinli bo’ladi.

Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Bu yerda va noma’lum chegaraviy shartlardan foydalanib aniqlanadi. ning nuqtada uzluksizligidan miqdor miqdor orqali ifodalanadi. Shunday qilib, Grin funksiyasida faqat noma’lum qoladi. Uni toppish uchun esa shartdan foydalanish lozim.

Umumlashgan Grin funksiyasi simmetrikdir, ya’ni

Haqiqatdan, ushbu

tenglikni ga,

tenglikni esa ga ko’paytirib qo’shamiz. So’ngra Grin formulasidan va Grin funksiyasining hamma xossalaridan foydalanib, hosil bo’lgan tenglikni dan gacha, dan gacha va dan gacha integrallaymiz. Natijada

tenglikni yoki

tenglikni hosil qilamiz. Bundan izlangan simmetriklikning o’rinli ekaniga ishonch hosil qilish qiyin emas.

Quyidagi lemma o’rinli.

Lemma. (4) (5)

Lemmaning isboti (7) formuladan kelib chiqadi.

Eslatma . Agar (5) shartlar o’rniga ushbu



(11)

shartlar ko’rilsa, u holda bo’lib, bo’lsa, (4) (11) masala bir jinsli chegaraviy shartli masala deyiladi. bo’lganda esa tegishli masala bir jinsli bo’lmagan chegaraviy shartli masala deb yuritiladi. Har ikki holda (4) (5) masala uchun yuritilgan mulohazalarni olib boorish, mos Grin funksiyasini kiritish mumkin.