Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

II BOB. SHTURM LIUVILL MASALASI

2.1 Masalaning qo’yilishi.

Shturm Liuvill masalasi quyidagicha qo’yiladi.

Parametr ning shunday qiymatlari topilsinki, u qiymatlarda ushbu

(12)

chegaraviy masala aynan nolga teng bo’lmagan yechimga ega bo’lsin.

Parameter ning tegishli qiymatlari mavjud bo’lsa, uni (12) masalaning xos sonlari , unga mos yechimni esa xos funksiyalari deb ataladi.

Shturm Liuvill masalasiga bitta misol keltiramiz. Ushbu

(13)

masala qo’yilgan bo’lsin.

a bo’lsin. Ma’lumki, tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. chegaraviy shartdan kelib chiqadi. chegaraviy shartdan kelib chiqadi. Bu holda masalaning yechimi ( bo’lganda yechim trivialmas)

bo’ladi.

b bo’lsin. (13) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. chegaraviy shartlardan kelib chiqadi. Demak, tegishli yechim bo’ladi. Shunday qilib, (13) tenglamaning tegishli shartlarni qanoatlantiradigan trivialmas yechimi mavjud emas.

v bo’lsin. (2) tenglamaning umumiy yechimi

bo’ladi. Chegaraviy shartlardan

kelib chiqadi. Bu sistemadan ni topamiz. Demak, yechim: Yuqorida ko’rilgan uchta holga ko’ra quyidagi xulosaga kelamiz: agar bo’lsa, (13) masala cheksiz ko’p yechimga ega. Agar bo’lsa, (13) masala faqat trivial yechimga ega. lar (12) masalaning xos qiymatlari, ularga mos keluvchi funksiyalar esa (13) masalaning xos funksiyalari bo’ladi.

Lekin hamma vaqt ham qo’yilgan Shturm Liuvill masalasini osongina yechib bo’lavermaydi.

Shturm Liuvill masalasini umumiy holda yechish bilan shug’ullanamiz.

differensial operatorning oddiy Grin funksiyasi mavjud deylik. U holda Gilbertning fundamental teoremasiga asosan (6) formulada deb (12) Shturm Liuvill masalasiga ekvivalent bo’lgan bir jinsli integral tenglama deb yuritiladigan

(14)

tenglamani hosil qilamiz.

Eslatib o’tamizki noma’lum funksiya integral belgisi ostida albatta qatnashadigan tenglamalar albatta qatnashadigan tenglamalar integral tenglama deyiladi.

Integral tenglamalarga oid ba’zi tushunchalarni (14) tenglamaga nisbatan aytib o’tamiz.

(14) integral tenglamaning yechimi deb intervalda aniqlangan, uzluksiz va tenglamani

ayniyatga aylantiradigan funksiyaga aytiladi. (14) tenglamani chiziqli bir jinsli integral tenglama deb ataladi.

(14) chiziqli bir jinsli tenglama har doim yechimga ega. Haqiqatdan, (14) uchun trivial yechim mavjud. Ammo bu tenglama trivialmas yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin. Agar funksiyalarning har biri (14) uchun yechim bo’lsa, u holda funksiya ham yechim bo’ladi. Haqiqatdan , shart bo’yicha . Bundan kelib chiqadi. Endi bo’yicha yig’indi olamiz:

Bu esa tasdiqni isbotlaymiz.

Berilgan (14) integral tenglama uchun ning shu tenglama trivialmas yechimga ega bo’ladigan qiymatlari yadrosining qiymatlari (sonlar) deyiladi. Agar xarakteristik funksiyasi deyiladi.

Quyida muhim teoremani keltiramiz. 2 - teorema.

Isbot. 1) haqiqatdan, agar va lar shunday bo’lsaki , ular uchun

bo’lsa 1- teoremaga ko’ra quyidagiga ega bo’lamiz:

Bundan xarakteristik son ekani, esa mos xos funksiya ekani kelib chiqadi.

2) endi

ayniyat o’rinli bo’lsin. Bu ayniyatning o’ng tomonidagi funksiya ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi (Gilbert teoremasiga ko’ra) bo’lib, ayniyatni bo’lganda qanoatlantiradi.

funksiya (4)-(5) masalaning Grin funksiyasi bo’lgani uchun .

Demak, va lar (12) masalaning mos ravishda xos soni va xos funksiyasidan iborat. Teorema isbot bo’ldi.

2.2 §. Shturm Liuvill masalasi xos sonlari va xos

funksiyalarining xossalari

Agar differensial ifodada bo’lib, parametrning qiymati (12) masalaning xos soni bo’lmasa ham tegishli masalaning Grin funksiyasi bo’lsa, u holda Shturm Liuvill masalasi xos sonlari va funksiyalari quyidagi xossalarga ega bo’ladi.

Shturm Liuvill masalasining xos funksiyalari intervalda ikki marta uzluksiz differensiallovchi.

Shturm Liuvill masalasining xos qiymatlari simmetrik yadroga ega bo’lgan (14) integral tenglamaning xarakteristik qiymatlari bilan ustma-ust tushadi.

Shturm Liuvill masalasining xos qiymatlari haqiqiy sonlardan iborat.

Shturm Liuvill masalasining xos qiymatlari oddiy xos qiymatlardir (eslatib o’tamizki, xarakteristik qiymatga xos kelgan chiziqli erkli xos funksiyalarning maksimal soni s tegishli xarakteristik sonning karrasi deyiladi. Shunday ta’rif xos qiymatlar uchun ham kiritiladi.).

Isbot. operator uchun xos qiymat bo’lib, bu oddiy bo’lmasin, boshqacha aytganda soniga ikkita chiziqli erkli xos funksiyalar mos kelsin deylik. Bu holda shu funksiyalardan tuzilgan Vronskiy determinant

ning intervaldan olingan ixtiyoriy qiymatida noldan farqli. Jumladan kelib chiqadi. Bu esa larning da chiziqli erkli bo’lsin degan farazga zid.

Shturm Liuvill masalasining modullari qatnashmaydigan qilib joylashtirilgan , ya’ni

xos qiymatlari ga uzoqlashuvchi ketma-ketlikni tashkil etadi.

2.3 §. Grin funksiyasini tuzishga doir misollar

Quyida misollar ko’ramiz.

Misol 1. Ushbu differensial ifodaning

chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. Grin funksiyasini

ko’rinishda izlaymiz.

nuqtada funksiya uzluksiz, lekin uning birinchi tartibli hosilasi uzilishga ega bo’lgani uchun

Sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechib larni topamiz. Demak, izlanayotgan Grin funksiyasi quyidagicha yoziladi:

Misol 2.Ushbu differensial ifodaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. Grin funksiyasini quyidagi

ko’rinishda izlaymiz. Grin funksiyasining ta’rifi bo’yicha

sistemaga va ga egamiz.

Demak, izlanayotgan Grin funksiyasi quyidagicha yoziladi:

Misol 3. Ushbu differensial ifodaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini quyidagi

ko’rinishda izlaymiz. va larni topish uchun ushbu

sistemaga egamiz. Bu sistemadan va ni topamiz. Demak, Grin funksiyasi quyidagicha yoziladi:

Misol 4. Ushbu differensial ifodaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishga ega bo’lgani uchun mos Grin funksiyasini

ko’rinishda izlaymiz.

Chegaraviy shartlardan kelib chiqadi. Grin funksiyasining uzluksizligi va hosilasining -tur uzilishga egaligi sharti bo’yicha ushbu

sistemaga egamiz. Bu sistemani yechib larni hosil qilamiz. Topilganlarni o’rniga qo’yib, so’ngra ixchamlashtirsak, Grin funksiyasi uchun

yoki

ifodani topamiz.

Misol 5. Ushbu differensial ifodaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. differensial tenglamaning umumiy yechimi

bo’lganidan, Grin funksiyasini quyidagicha izlaymiz:

Endi dan dan kelib chiqadi. ning uzluksizligidan va ning nuqtada uzilishga ega ekanidan

sistema kelib chiqadi. Bundan larni topamiz. Shunday qilib, Grin funksiyasi quyidagicha yoziladi:

Misol 6. Ushbu

differensial ifodaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini toping.

Yechish. tenglamaning ikkita chiziqli erkli yechimi va bo’lishini bevosita tekshirib bilish mumkin. Shuning uchun tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi (bu yerda va ixtiyoriy o’zgarmaslar).

Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

chegaraviy shartdan topiladi. shartga ko’ra kelib chiqadi. Shunday qilib, Grin funksiyasi

ko’rinishida izlanishi lozim.

ning nuqtada uzluksizligidan, hosilaning uzilishga egaligidan foydalanib,

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechib, va larni topamiz. Demak, izlanayotgan Grin funksiyasi ushbu

formula bilan aniqlanadi.

Misol 7. Ushbu differensial ifodaning chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. tenglamaning da chekli bo’ladigan yechim dan iborat; xuddi shunga o’xshash, da chekli bo’ladigan yechim bo’ladi. Bu holda Grin funksiyasini

ko’rinishda izlaymiz. Endi da ning uzluksizligidan va hosilaning uzluksizligidan foydalanib, quyidagi

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechib

larni topamiz. Demak, izlanayotgan Grin funksiyasi

ko’rinishga ega.

Bu metod bo’lganda yaramaydi, chunki bo’lganda tenglama normallashgan yechimga ega bo’lib, bu yechim chegaraviy shartlarni ham qanoatlantiradi.

Bu yerda oddiy Grin funksiyasi mavjud emas, shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzishimiz kerak. Buning uchun

tenglamaning umumiy yechimini topamiz :

(bu yerda va lar ixtiyoriy o’zgarmas sonlar). Endi Grin funksiyasini quyidagicha izlaymiz:

shartdan shartdan esa kelib chiqadi. va larning qiymatini e’tiborga olsak,

hosil bo’ladi.

Grin funksiyasining uzluksizligidan quyidagi

munosabatga egamiz. Bundan

larni topib, Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda yozamiz:

Bu yerdagi ixtiyoriy o’zgarmas ni

shartdan aniqlaymiz:

Bundan tenglamaga egamiz. Uni yechib ni topamiz. Demak, qo’yilgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi (*) formula bilan berilib, unda bo’ladi. 8.Ushbu differensial ifodaning shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. funksiya tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim bo’lgani uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzishga to’g’ri keladi. Buning uchun

tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Bunday yechim osongina topiladi: . Demak, umumlashgan Grin funksiyasini

ko’rinishida izlaymiz.

Chegaraviy shartlardan va Grin funksiyasining uzluksizligidan foydalanib

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemani yechib topamiz:

Shuning uchun

Bu yerdagi ni shartdan topamiz:

Biz ga nisbatan birinchi tartibli tenglamaga egamiz. Uni yechib ni topamiz:

Buni e’tiborga olsak, tegishli Grin funksiyasi uchun uzil-kesil quyidagini hosil qilamiz:

Misol 9. Ushbu differensial ifodaning shartlarini qanoatlantiradigan Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. Bu yerda oddiy Grin funksiyasi mavjud emas. Chunki funksiya tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Demak, biz, tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

Bu holda Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishda izlanadi:

Ravshanki, chegaraviy shartlardan kelib chiqadi. Grin funksiyasining uzluksizligidan

ni topamiz. Bu holda Grin funksiyasi

ko’rinishga ega bo’ladi. Bu yerda ni shartdan topiladi: Demak, Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga keladi:

Berdaq nomidagi Qoraqalpog‘iston davlat universiteti matematika fakulteti (kechki) 2-a guruh talabasi Matmuratov Zafarbek Ikrom o‘g‘lining ‘‘Oddiy Differensial Tenglamalar fani uchun Chegaraviy masalalar to‘g‘risida eng oddiy masalalar’’ mavzusida yozgan kurs ishiga

XULOSA

Kurs ishi refarativ xarakterda yozilgan bo‘lib, Oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar, Shturum Liuvill tenglamasi va Grin funuksiyasi kabi masalalarni yechishga bag‘ishlangan.Mazkur Kurs ishi ikkita bob, to‘rtta paragrfdan, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan ro‘yxatidan iborat.Mazkur kurs ishining kirish qismida mavzuning dolzarbligi, tadqiqotning maqsadi, obyekti, peredmeti, muammosi, yangiligi va differensial tenglama, uning yechimlari haqida to‘htalgan.

I-bobda birinchi va ikkinchi tartibli oddiy differensial paragrafdan tenglamalar uchun chegaraviy masalalar, Grin funuksiyasi va uning xossalari bayon qilingan. II-bob esa Shturm-Liuvill tenglamasi va uning yechimlarini topish usullari o‘rganilgan.