Bessel funksiyalarining nollari

Bessel funksiyalarining nollari. Ortogonallik munosabatlari
(1)-tenglamada x = kr almashtirish bajaraylik:

B u tenglamani

o’rinishga keltirib olaylik. Shu tenglamani bir gal k₁ parametr bilan, bir gal k₂ parametr bilan yozib olib, k₁ li tenglamani J_v(k₂r) ga, k₂ li tenglamani J_v(k₁r) ga ko’paytiramiz va birini ikkinchisidan ayiramiz. Natijada

formulani olamiz (har bir shtrih - r bo’yicha hosila). Tenglamaning chap tomonini bizning maqsadimiz uchun qulayroq ko’rinishga keltiraylik:

D emak,

Faraz qilaylik, k1 va k2 sonlar quyidagi tenglamaning yechimlaridan bo’lsin:

Unda tenglamaning o’ng tomoni k₁ ≠ k₂ holda nolga teng bo’ladi va biz olamiz:

k₁ = k₂ holni quyidagicha ko’ramiz. tenglamaning o’ng tomonida k₂= k₁ + δ deymiz va δ → 0 limitga o’tamiz:

B essel tenglamasidan
k elib chiqadi, shuni ishlatib

munosabatga kelamiz. Yuqoridagi formulalar Bessel funksiyalarining o’zaro ortogonalligini va normasini ko’rsatadi, ya’ni, Bessel funksiyasining noli bo’ladi. Bessel funksiyalarining nollari masalasi adabiyotda keng muhokama qilinadigan masaladir. Ma’lumki, J₀(0) = 1 bo’ladi va J₀(k) ning birinchi noli k₁ = 2.4844 ga teng, qolgan nollari shu songa taxminan nπ, n = 1,2,3,.. larni qo’shib olinadi. J_n(k), n ≥ 1 holda Bessel funksiyalari koordinat boshida nolga teng bo’ladi J_n(0) = 0, ularning boshqa nollarini matematik jadvallardan topish mumkin.

Xulosa
"Matematik fizika metodlari" kursi matematikaning fizikadagi beqiyos effektivligiga yaqqol misoldir. U fizik jarayonlarni va qonuniyatlarni matematik yo‘l bilan talqin qilish naqadar unumli ekanligini ko‘rsataqi. Kurs davomida talabalar fizika sohasidagi masalalarni matematik korrekt formada qo‘yish, boshlang‘ich va chegaraviy shartlarni talqin qilish va yechishni o‘rganadi. Matematik fizika tenglamalari sohasidagi tanolingan metodlarning deyarli hammasi mazkur darslikda keltirilgan. Nazariy materiallarga ularni tushuntiradigan deyarli qirqta misollar keltirilgan. Yuzdan ortiq mashqlar o‘zlarining yechimlari bilan berilgan. Bu misol va mashqlardan ko‘rinib turibdiki, matematik fizika fanining tushunchalari va metodlari to‘lqin, massa hamda issiqlik tarqalishi jarayonlarini to‘liq ravishda qamrab olgan, matematik fizika metodlari yordamida bu sohalarda yechib bo‘lmaydigan masala yo‘q. Matematik fizika tenglamalari fani klassik mexanika, fizika, gidrodinamika, akustika va boshqa sohalarda sodir bo'ladigan jarayonlarning matematik modellarini yaratish va bu masalalarni yechish usullarini qurish bilan uzviy bog'liq. Bu modellashtirish muayyan jarayonlarni ifodalovchi fizikaviy kattaliklar asosida leuglamalarni keltirib chiqarish bilan xarakterlanadi. Kvant mexanikasi, atom va yadro fizikasi, qattiq jismlar nazariyasi, elementar zarralar fizikasi kabi sohalarning rivojlanishi matematik tadqiqodlarning asosini tashkil etadi. Mexanika va fizikaning ko'plab masalalari xususiy hosilali differensial tenglamalarni tadqiq etishga keladi. Shuning uchun xususiy hosilali differensial tenglamalar fani matematik fizikaning zamonaviy holatini o'rganish va tushunish uchun zarur bo'lgan boshlang'ich bilimlarni beradi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   O. S Zikirov Matematik fizika tenglamalari Toshkent – 2017, 320 b
   
2. 
   Salohiddinov.M., Matematik fizika tenglamalari Toshkent, “O`zbekiston” nashriyoti – 2002
   
3. 
   T.N.Nurimov. Matematika fizika metodlari. T. «O‘qituvchi». 1980.
   
4. 
   T. Azlarov, H.Mansurov Matematik analiz. 2-qism, Toshkent, “O`qituvchi” nashriyoti, 1989.