1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi y = f (M) = f (x1; x2; …; xn) funksiya V Rn to`plamda aniqlangan bo`lib, nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va M0 є V bo`lsin.
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M0 quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M1, M2, …, Mk, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M1), f (M2), …, f (Mk), … sonli ketma-ketligi f (M0) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M0nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M0 nuqtaning shunday bir δ atrofi Sδ(M0) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є Sδ(M0) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M0) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M0 nuqtada uzluksiz deyiladi.
y = f (M) funksiyaning M0 nuqtada uzluksizligi ning mavjudligini va uning funksiyaning M0 nuqtada erishadigan qiymati f (M0) ga tengligini anglatadi, ya`ni .
shart shartga teng kuchli ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan , , …, almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M0 nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M0) = Δf (M0) almashtirish kiritsak, shartlar
ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiya-ning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.
Masalan:
1) y = cos x funksiya har bir x0 є R1 nuqtada uzluksiz, chunki
2) y = a1x1 + a2x2 + … +anxn chiziqli funksiya har bir M(x1; x2; …; xn) є Rn nuqtada uzluksiz va hokazo.
