Birinchi tartibli differensial tenglamaning maxsus yechimi


O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli



Yüklə 317 Kb.
səhifə2/6
tarix22.05.2023
ölçüsü317 Kb.
#119220
1   2   3   4   5   6
BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMANING MAXSUS YECHIMI. KLERO TENGLAMASI

O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli
chiziqli differensial tenglamalar


Ta’rif.

a0y(n)+a1y(n-1)+..+ an-1y+any=f(x) (4.2)


ko’rinishdagi tenglama n-tartibli chiziqli , o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi, bunda


a0,.a1,..,an-1,an – o’zgarmas miqdorlar, a0 0.
Agar f(x) 0 bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama,
f(x) 0
bo’lsa, bir jinsli tenglama deyiladi.
1-teorema
y1 va y2 2- tartibli bir jinsli chiziqli
y+ a1y+a2y=0 (4.3)
tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsa, u xolda y=y1+y2 ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
2- teorema
Agar y (4.3) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda cy ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.


Ta’rif
Agar [a,b] da (4.3) tenglamaning 2 ta yechimining nisbati o’zgarmas miqdorga teng , ya’ni

bo’lsa y1 va y2 yechimlar [a,b] da chiziqli erkli yechimlar deyiladi, aks xolda chiziqli bog’lik yechimlar deyiladi .
Ta’rif
W(y1 , y2)= = y1 2 - 1 y2
- ko’rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi.


3- teorema
Agar y1 va y2 yechimlar [a,b] da chiziqli bog’liq bo’lsa,u xolda bu kesmada Vronskiy determinanti nolga teng.
4- teorema

Agar (4.3) tenglama yechimlaridan tuzilgan W(y1 , y2) - Vronskiy determinanti tenglama koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan [a,b] kesmadagi biror x=x0 qiymatida nolga teng bo’lmasa ,u xolda W(y1,y2) bu kesmada nolga aylanmaydi.


Isbot
y1 va y2 (4.3) tenglamaning yechimlari bo’lsin. U xolda
y1+ a1y1 +a2y1=0 , y2+ a1y2 +a2y2=0 .
Birinchi tenglikni y2 ga, ikkinchi tenglikni y1 ga kupaytirib, ayiramiz:

(y1 y2’’ - y2 y1’’ )+ a1(y1 y2 - y2 y1 )=0 (4.4)



W(y1 , y2)= y1 y2 - y1 y2 dan Wx(y1 , y2)= y1 y2’’ - y1 ’’ y2 xosil bo’ladi. Demak, (4.4) tenglama
Wx + a1 W=0

ko’rinishni oladi. Bu tenglamaning W|x=x =W0 shartni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz:







(4.6).

    1. formula Livuill formulasi deyiladi.

W|x=x =W0 boshlang’ich shartdan C= W0 ni topamiz. Demak,
(4.7)

W0 0, bu xolda (4.7) dan x ning xech bir qiymatida W 0


kelib chiqadi.


5- teorema.

Yüklə 317 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin