Birinchi tartibli differensial tenglamaning maxsus yechimi

O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli
chiziqli differensial tenglamalar


Ta’rif.

a₀y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+..+ a_n-1y^’+a_ny=f(x) (4.2)

ko’rinishdagi tenglama n-tartibli chiziqli , o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi, bunda

a₀,_.a₁,..,a_n-1,a_n – o’zgarmas miqdorlar, a₀ 0.
Agar f(x) 0 bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama,
f(x) 0
bo’lsa, bir jinsli tenglama deyiladi.
1-teorema
y₁ va y₂ 2- tartibli bir jinsli chiziqli
y^”+ a₁y^’+a₂y=0 (4.3)
tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsa, u xolda y=y₁+y₂ ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
2- teorema
Agar y (4.3) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda cy ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.


Ta’rif
Agar [a,b] da (4.3) tenglamaning 2 ta yechimining nisbati o’zgarmas miqdorga teng , ya’ni

bo’lsa y₁ va y₂ yechimlar [a,b] da chiziqli erkli yechimlar deyiladi, aks xolda chiziqli bog’lik yechimlar deyiladi .
Ta’rif
W(y₁ , y₂)= ₌ y_{1 2} - ₁ y₂
- ko’rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi.


3- teorema
Agar y₁ va y₂ yechimlar [a,b] da chiziqli bog’liq bo’lsa,u xolda bu kesmada Vronskiy determinanti nolga teng.
4- teorema

Agar (4.3) tenglama yechimlaridan tuzilgan W(y₁ , y₂) - Vronskiy determinanti tenglama koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan [a,b] kesmadagi biror x=x₀ qiymatida nolga teng bo’lmasa ,u xolda W(y₁,y₂) bu kesmada nolga aylanmaydi.

Isbot
y₁ va y₂ (4.3) tenglamaning yechimlari bo’lsin. U xolda
y₁^”+ a₁y₁ ^’+a₂y₁=0 , y₂^”+ a₁y₂ ^’+a₂y₂=0 .
Birinchi tenglikni y₂ ga, ikkinchi tenglikni y₁ ga kupaytirib, ayiramiz:

(y₁ y₂^’’ - y₂ y₁^’’ )+ a₁(y₁ y₂^’ - y₂ y₁^’ )=0 (4.4)

W(y₁ , y₂)= y₁ y₂^’ - y₁ y ^‘₂ dan W_x(y₁ , y₂)= y₁ y₂^’’ - y₁ ^’’ y₂ xosil bo’ladi. Demak, (4.4) tenglama
W_x + a₁ W=0

ko’rinishni oladi. Bu tenglamaning W|_x=x =W₀ shartni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz:

(4.6).

6. 
   formula Livuill formulasi deyiladi.
   

W|_x=x =W₀ boshlang’ich shartdan C= W₀ ni topamiz. Demak,
(4.7)

W₀ 0, bu xolda (4.7) dan x ning xech bir qiymatida W 0

kelib chiqadi.


5- teorema.