Birinchi tartibli differensial tenglamaning maxsus yechimi

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMANING MAXSUS YECHIMI. KLERO TENGLAMASI. LAGRANJ TENGLAMASI. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI. NORMAL SISTEMA. NOMA’LUMLARNI YO‘QOTISH USULI.
Reja

1. 
   Birinchi tartibli differensial tenglamaning maxsus yechimi.
   
2. 
   Yuqori tartibli tartibi pasayadigan differensial tenglamalar.
   
3. 
   Klero tenglamasi
   
4. 
   O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar.
   

Yuqori tartibli differensial tenglamalar

Ta’rif. F(x,y,y’,....,y⁽ⁿ⁾)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif. n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с₁, с₂, .... с_n - ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan
y= (x, с₁, с₂, .... с_n)
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya:

1. 
   с₁,...,с_n larning ixtiyoriy qiymatlarida tenglamani qanoatlantiradi;
   
2. 
   berilgan y(x₀)=y₀, (x₀)=y₁,..., y^(n-1)(x₀)=y_n-1 boshlang’ich shartda с₁, с₂, .... с_n larni shunday tanlash mumkinki,
   

y= (x, с₁, с₂, .... с_n) funksiya bu boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
Ta’rif. Umumiy yechimdan с₁, с₂, .... с_n miqdorlarning tayin qiymatlarida hosil bo’ladigan funksiya xususiy yechim deyiladi.

Yuqori tartibli tartibi pasayadigan

differensial tenglamalar

1. 
   y⁽ⁿ⁾=f(x) ko’rinishidagi tenglama.
   

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))^’ ni e’tiborga olib

ni hosil qilamiz, bunda x₀ x ning tayinlangan qiymati, с₁ - o’zgarmas miqdor.
Integrallashni shunday davom ettirib

ifodani hosil qilamiz.
Boshlang’ich shartlarni

qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topish uchun

С_n=y₀, C_n-1=y₁, .. ., C₁=y_n-1

deb olish etarli.

2. y^”=f(x,y) ko’rinishidagi tenglama.

=p deb, y^”=p^’ ni xosil qilamiz.
Demak,
p^’= f(x,y)

Bu tenglamani integrallab

- umumiy yechimni topamiz.
munosabatdan esa - umumiy yechimni xosil qilamiz.

3. ko’rinishidagi tenglama ham

deb parametr kiritish bilan
( - )
yuqorida o’rganilgan tenglamaga keltiriladi.
munosabatdan y ni topib, yechim xosil qilinadi.

4. ko’rinishidagi tenglama.

Bu tenglamani yechish uchun deb olamiz.
Ammo p ni y ning funksiyasi deb qaraymiz: p=p(y)
U xolda,



va larni berilgan tenglamaga qo’yib

birinchi tartibli differensial tenglamani xosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab p=p(y,c₁) yechimni va
munosabatdan

tenglamani olamiz.
Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning
F(x,y,c₁,c₂)=0

umumiy yechimini xosil qilamiz.