Bog’liklikni tekshirishni osonlashtiradi

2.2 Danilevki metodi tasnifi
Quyidagi matritsani ko’rib chiqamiz:
(1)
matritsaning bunday ko’rinishiga Frobenius formasi deyiladi. Danilevskiy metodining asosiy g’oyasi berilgan A matritsani o’xshash almashtirishlar yordamida Frobenius normal formasiga keltirishdan iboratdir. A va R o’xshash bo’lganligi uchun, ya’ni ular bir xil xarakteristik ko’phadga ega, ya’ni

R matritsaning xarakteristik ko’phadini osongina yozish mumkin. Haqiqatan ham

ni birinchi satr elementlari bo’yicha yoyib chiqsak:

bo’ladi. Demak, R matritsaning birinchi satr elementlari lar mos ravishda uning xos ko’phadining koeffitsiyentlaridan iborat ekan.
A matritsani R matritsa ko’rinishiga keltirish uchun ketma – ket n-1 marta o’xshash almashtirish yordamida A matritsaning satrlarini oxirgi satridan boshlab mos ravishda R matritsa satrlari o’tkaziladi.
Faraz qilaylik, A matritsaning elementi noldan farqli bo’lsin va uni ajratilgan element deymiz. A matritsaning o’ng tomonidan

matritsaga ko’paytiramiz, natijada

hosil bo’ladi. Matritsalarni ko’paytirish qoidasiga ko’ra, B matritsaning elementlari


formulalar bilan aniqlanadi. Hosil bo’lgan B matritsa A matritsaga o’xshash bo’lishi uchun chapdan matritsani B matritsaga ko’paytirish kerak:

Bevosita tekshirib ko’rish bilan quyidagi ko’rinishda bo’lishligiga ishonch hosil qilinadi:

deb belgilaylik. matritsani oxirgi yo’lini o’zgartirmasligi yaqqol ko’rinib turibdi. Demak, C matritsa

ko’rinishda bo’ladi. Ko’paytirish amali B matritsaning faqat (n-1) satrini o’zgartirishini anglash qiyin emas. Bu yerda


hosil bo’lgan C matritsa A matritsaga o’xshash va uning oxirgi satri kerakli ko’rinishga keltirilgan. Shu bilan metodning bitta qadami bajarildi.
Endi ajratilgan element bo’lsin deb, C matritsaning ( n - l ) satrini Frobenius formasiga keltirish uchun birinchi qadamdagi amallarni C martitsaning (n - 1) satri uchun bajarish kerak, ya’ni

amallarni bajarish kerak. Bu yerda



Shunday qilib, D matritsaning oxirgi ikkita satri Frobenius formasiga keltirilgan bo'ladi. Shu jarayon n - 1 marta bajarilishi mumkin bo’lsa, A matritsa Frobenius normal formasiga keltirilgan bo’ladi, ya’ni

Bundan foydalanib,

ni hosil qilamiz. tenglamani yechib, larni aniqlaymiz.
Danilevskiy metodida ajratilgan element nolga teng bo‘lsa, bu hol noregulyar hol deyiladi. Bu holda Danilevskiy metodi bilan almashtirish jarayonini davom ettirib bo‘lmaydi.
Faraz qilaylik, A matritsani Frobenius ko‘rinishiga keltirishda
( n - k ) qadam bajarilgan bo‘lib, quyidagi


matritsa hosil bo’lgan va bo’lsin . Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin:
1-hol: dan chapdagi biror element bo’lsa, D matritsaning (k-1) ustunini - ustun bilan, shuningdek, (k-1) yo’lini - yo’l bilan almashtiramiz. Hosil bo’lgan matritsa D matritsaga o’xshash bo’ladi va Danilevskiy metodini davom ettirishimiz mumkin.
2-hol: bo’lsin. U holda D

ko’rinishga ega bo’ladi. Demak,

matritsa Frobenius normal formasiga ega. Danilevskiy metodini matritsaga qo’llab uni Frobenius normal formasiga keltiramiz.
Endi xos vektorni topish masalasini ko’ramiz. Faraz qilaylik, A matritsaning, ya’ni R matritsaning ham barcha xos sonlari topilgan bo’lsin. R matritsaning berilgan xos soniga mos

xos vektorlarni topamiz. bo’lganligi uchun yoki

Buni ochib yozaylik:
(1)
Bu sistemadan




ni topamiz. Xos vektor xossasiga ko’ra deb olish mumkin, u holda



(2)

ga ega bo’lamiz. (2) ni (1) ning birinchisiga qo’ysak, u

ko’rinishga ega bo’ladi, bu esa hisoblash jarayonini nazorat qilishga xizmat qiladi.


tenglikni chapdan ga so’ng ga va hokazo, oxirida ga ko’paytirsak,

ekanligi hosil bo’ladi. Ma’lumki, matritsa y vektoming birinchi koordinatasini o’zgartiradi, esa vektorning ikkinchi koordinatasini o’zgartiradi. Shu jarayonni n -1 marta takrorlasak, x vektorning hamma koordinatalari hisoblangan bo’ladi. Bu yo‘l bilan noregulyar holning ikkinchi variantida xos vektorni topib bo’lmaydi. Bunday holatda xos vektorni, misol uchun, Krilov metodi bilan topish ma’quldir.