Bog’liklikni tekshirishni osonlashtiradi

2.3 Danilevskiy metodidan foydalanib misollar yechish
1. Quyidagi matritsani almashtirishlardan foydalanib Frobenius normal formasiga keltiring va uning xos qiymatlarini toping.
.
Yechish:
Birinchi qadam
,
,
.
Ikkinchi qadam:
,
.
Uchinchi qadam:

,

,
.
matritsaning birinchi qatori A matritsaning xarakteristik tenglamasidagi koeffitsientlarni ifodalaydi va u qiyidagi ko’rinishda bo’ladi:
.
Bu tenglamaning ildizlari matritsa va A matritsasining xos qiymatlari bo’ladi. Tenglamani yechib quyidagilarga ega bo’lamiz.
.
А matritsaning xos vektorini topamiz.
Umuman olganda Ф va A matritsalarning xos vekorlari bir xil emas ammo ular orasida bog’liqlik mavjud.
Х – А matritsaning xos qiymatiga mos keluvchi xos vektori, Y – esa Frobenius matritsasiningxos vektori , bir xil λ xos qiymatga ega ekanligidan SY ham А matritsaning xos vektori ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
X = SY.
Haqiqatdan ham ФY = Y va ekan bundan

ekanligi kelib chiqadi.
Ushbu tenglikni chapdan S ga ko’paytirsak ga ega bo'lamiz. ekanligini hisobga olsak


X = SY.

Demak Ф matritsaning xos vektorlari bizga ma'lum bo'lsa A matritsaning xos vektorlarini osongina aniqlashimiz mumkin ekan.

Ф matrirsaning xos vektorlarini topamiz.
ФY=Y 


.

Bundan quyidagi sistemani qurib olamiz

.

Matritsaning xos vektori doimiy koeffitsiyentgacha aniqlanganligidan ni yozib olamiz.

Keyin sistemadagi qolgan tengliklar yordamida Y vektorning qolgan koordinatalarini ketma – ket topib boramiz


.
tenglikdan ni hisoblashda foydalanishimiz mumkin.
xos qiymatga mos keluvchi xos vektorni topamiz:


,

Bu yerda  Frobenius matrutsasining _I xos qiymatiga mos xos vektori.

deb faraz qilgan holda ning qolgan koordinatalari ham topiladi