Boshlang’ich funksiya. Aniqmas integral. Integrallash usullari

10-AMALIY MASHG’ULOT.

Boshlang’ich funksiya. Aniqmas integral. Integrallash usullari.

Asosiy integrallar jadvali.
1. Ta’riflar. Agar (a; b) oraliqda berilgan funksiya uchun yoki kabi munosabat o’rinli bo’lsa, F(x) funksiyani u oraliqda f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiya deb yuritiladi. Berilgan f(x) funksiyaning har qanday ikkita boshlang’ich funksiyalari bir-biridan ixtiyoriy o’zgarmas son bilan farqlanadi. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa , u holda (bu yerda C- ixtiyoriy o’zgarmas son) funksiyalar ham f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’ladi va ular f(x) funksiyaning (a;b) oraliqdagi aniqmas integrali deb ataladi va u quyidagicha yoziladi.

Bu yerda: - belgisi, f(x) – integrallanuvchi funksiya, f(x)dx – integral belgisi ostidagi ifoda, x – integrallash o’zgaruvchisidir.
Funksiyaning aniqmas integralini hisoblashni uni integrallash deb yuritiladi.


2. Aniqmas integralning asosiy xossalari quyidagicha yoziladi:
2.1. ,
2.2. ,
2.3. ,
2.4. ,
2.5. .
Integrallash natijasining to’g’riligini topilgan boshlang’ich funksiyani diferentsiallash orqali tekshiriladi, ya’ni:
.


Asosiy integrallar jadvali

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.		19.
10.		20.

Quyida keltiriladigan misollardagi aniqmas integrallarni hisoblashda aniqmas integrallarning jadvali hamda uning xossalaridan foydalanamiz.
1-Misol. .
2-Misol. .
3-Misol.
.
4-Misol.


5-Misol. .


6-Misol. .


7-Misol.



Aniqmas integralni o’rniga qo’yish usuli bilan integrallash
Agar funksiya uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa, u holda ni har doim o’zgaruvchi t ga nisbatan o’zgartirish mumkin bo’ladi:

Bu yerda, o’ng tomondagi integral hisoblangandan keyin hosil bo’lgan natijada avvalgi x o’zgaruvchiga qaytiladi. Aniqmas integralni mazkur usul bilan hisoblash usulini o’rniga qo’yish yoki o’zgaruvchini almashtirish usuli deb yuritiladi.
Ta’kidlash lozimki, almashtirish bajarilayotganda, va f(x) funksiyalarning aniqlanish soxalari orasida o’zaro bir qiymatli moslik shunday bajarilishi kerakki, funksiya, x ning barcha qiymatlarini qabul qilishi lozim bo’ladi.
Ayrim hollarda aniqmas integrallarni hisoblash jarayonida integral belgisi ostidagi ifodalarning ayrim qismlarini differensial belgisi ostiga kiritib, undan keyin integralning invariantlik xossasidan foydalanish lozimligini ham eslatib ketamiz.
8-Misol. hisoblansin.
Yechilishi. desak, bo’lib, integral esa ko’rinishga keladi. Uni yechamiz: . Javobda, t ning o’rniga uning qiymatini qo’yamiz.
Suning uchun:
9-Misol. .
Bu integralni hisoblashda ifodani differensial belgisi ostiga kiritish usulidan foydalanildi.


10-Misol. hisoblansin.
Yechilishi. desak, demak,
.


11-Misol. hisoblansin.
Yechilishi. bulardan
.
12-Misol. hisoblansin.
Yechilishi. desak, , hamda bo’lgani uchun . Bu integral (14) formulaga ko’ra hisoblandi.


13-Misol. hisoblansin.
Yechilishi. larga ko’ra,



14-Misol. hisoblansin.
Yechilishi. larga asosan,
.