Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral tushunchalari Reja Bo
3. Xosmas integrallar 1. Chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar. funksiya ning ( ) qiymatlarida aniqlangan va uzluksiz bo’ladi. Ushbu
Integralni qaraymiz. Bu integral da ma’noga ega. o’zgarganda integral o’zgaradi, u ning uzluksiz funksiyasi bo’ladi. bo’lganda bu integralni o’rganamiz.
chekili limit mavjud bo’lsa, u holda bu limit ning intervaldagi xomas integrali deyiladi va
bilan belgilanadi.
Shunday qilib, ta’rifga ko’ra
Shu holda xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar da chekli limitga ega bo’lmasa, u holda mavjud emas yoki uzoqlashadi deyiladi.
bo’lganda xosmas integralning geometrik ma’nosiga tushinish qiyin emas. Agar integral egri chiziq, absissalar o’qi, , to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzasini beradi, u holda xosmas integral , va absissalar o’qi orasida joylashgan chegaralanmagan yuzani ifodalaydi.
Boshqa cheksiz intervallar uchun ham xosmas integrallar shu tarzda aniqlanadi:
Oxirgi tenglikni quyifagicha tushinish mumkin: agar o’ng tomonda turgan xosmas integrallardan har biri mavjuda bo’lsa, u holda o’ng tomonda turgan integral ham mavjud (yaqinlashadi).
Misol. Integralni hisoblang .
Xosmas integralning ta’rifidan foydalanib, topamiz:
Bu integral cheksiz egri chiziqli trapetsiyani yuzasini beradi.
Misol 2. ning qanday qiymatlarida integral yaqinlashadi va uzoqlashadi.
Yechish. bo’lganda
bo’lgani uchun
Shunday qilib, da , ya’ni integral yaqinlashadi;
da , ya’ni uzoqlashadi;
da , ya’ni integral uzoqlashadi.
Misol 3. Hisoblang
Yechish.
Ikkinchi integral ga teng. Birinchi integralni hisoblaymiz:
Shunday qilib,
Ko’p hollarda berilgan integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini ko’rsatish, uning qiymatini baholash yetarli. Buning uchun quyidagi 2ta teorema foydali bo’lishi mumkin.
Teorema 1. Agar barcha uchun