Buxoro davlat universiteti

2.1.3-teorema (mavjudlik va yagonalik teremasi). Agar f(x,y) funksiya R tug‘ri to‘rtburchakda x, y lar bo’yicha uzluksiz bo‘lib, R da y bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda har bir (x₀,y₀)  R uchun tenglama x ning qiymatlari uchun aniqlangan va uzluksiz

qiymatlarni qabul qiluvchi yagona yechimga egadir.

Koshi masalasi, ushbu integral tenglamaga

(2.1.8)

ekvivalent.

Haqiqatan, y=y(x) (2.1.2) differensial tenglamaning oraliqda aniqlangan biror yechimi bo‘lib, u (x₀)=y₀ boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin.

Demak, biz ushbu

ayniyatga egamiz. Bu holda y(x) funksiya oraliqda

integral ayniyat o‘rinli. Aksincha, agar biror uzluksiz y(x) funksiya uchun oraliqda (2.1.4) ayniyat o‘rinli bo‘lsa, u holda y=y(x) funksiya differensiallanuvchi (2.1.2) differensial tenglamaning yechimi va y(x₀)= y₀ shartni qanoatlantiradi.

Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi

F(x,y,y’)=0 (2.1.9)

Agar tenglamaning ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa

(2.1.10)

tenglamaga ega bo’lamiz.(2.1.10) tenglamaga hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi