Buxoro davlat universiteti

Mavjudlik va yagonalik teoremalari.

Hosilaga nisbatan yechilgan

oddiy differensial tenglama berilgan bo‘lsin, bu yerda f (x, y) funksiya x0y tekislikdagi G sohada aniqlangan bo‘lsin.

Qaralayotgan sohada tenglama yechimga egami yoki yo‘qmi va agar yechim mavjud bo‘lsa, yagonami ya’ni (2.1.1) differensial tenglama

y(x₀)=y₀

shartni qanoatlantiradimi degan savollarga javob berish kerak bo‘ladi.

Yuqoridagi savollarga javob beradigan teoremalar mavjudlik va yagonalik teoremalari deb yuritiladi.

2.1.2 -teorema (mavjudlik teoremasi). Agar bo‘lsa, u holda G sohaning ixtiyoriy nuqtasi uchun (2.1.1) tenglamaning (2.1.3) shartni qanoatlantiradigan kamida bitta yechimi mavjud.

G sohaga tegishli bo‘lgan yopiq R turtburchak

ni qaraymiz, . Bu to‘rtburchakda f (x, y) funksiya chegaralangan, ya’ni



R dagi barcha nuqtalar uchun M > 0, chunki yopiq sohada uzluksiz funksiya o‘zining eng katta va eng kichik qiymatini qabul qiladi.

belgilanish kiritamiz,

Peano kesmasi deyiladi.

2.1.5-ta’rif. Agar f(x,y) funksiya G sohada aniqlangan bo‘lib, shu funksiya uchun shunday L0 son mavjud bo‘lsaki, ixtiyoriy ikkita (x,y₁)G, (x,y₂) G nuqtalar uchun ushbu

(L)

tengsizlik bajarilsa, u holda f(x,y) funksiya G sohada y bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshis o‘zgarmasi deyiladi.