Buxoro davlat universiteti

Bir jinsli chegaraviy masala.

Chiziqli bir jinsli chegaraviy masalani qaraymiz:

(2.1.28)

(2.1.29)

bu yerda lar lar uchun uzluksiz funksiyalar bo‘lsin.

Faraz qilaylik, va trivial yechim. Biz yechimlarni izlaymiz.

Aytaylik berilgan differensial tenglamaning yechimlar fundamental sistemasi bo‘lsin, unda umumiy yechim ushbu formula orqali ifodalanadi:

(2.1.30)

chegaraviy shartlarga ni qo‘yamiz:

koeffitsientlarni gruppalaymiz unda,

(2.1.31)

Yuqoridagi (2.1.31) sistema larga nisbatan chiziqli bir jinsli algebraik sistema noldan farqli yechimga ega bo‘lishi uchun, ushbu tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.

(2.1.32)

Shunday qilib, (2.1.28), (2.1.29) chegaraviy masalaning noldan farqli yechimi mavjud bo‘lishi uchun (2.1.32) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.

2.1.8-misol. Bir jinsli chegaraviy masalani yeching:



Yechilishi: Differensial tenglamaning umumiy yechimi

Chegaraviy shartlarni qo‘yamiz:

Sistema yechimi . Unda faqat yechim mavjud.

2.1.9-teorema. (2.1.28) differensial tenglamaning (2.1.26) umumiy chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi bitta va faqat bitta bo‘lishi uchun, (2.1.24) differensial tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimi faqat trivial bo‘lishi zarur va yetarlidir.