Chekli-ayirmali tenglamalar

Chekli-ayirmali tenglamalar

Differensial va integral tenglamalar klassik analizda qanchalik katta ahamiyatga ega bo`lsa, chekli-ayirmali tenglamalarning roli ham diskret analizda ana shundaydir. Bu paragrafni chekli-ayirmali tenglamalarga baqishlaymiz.

Faraz qilaylik, у(х) funksiya biror oraliqda berilgan bo`lsin. Aniqlik uchun bu oraliq yarim o`qdan iborat bo`lsin. Biror h > 0 qadamli x + kh to`rni olib, y(x) ning chekli ayirmalarini tuzamiz:

Ushbu
(11.1)
ko`rinishdagi tenglama p-tartibli chekli-ayirmali tenglama deyiladi.
Bu yerda y(x) izlanayotgan funksiya bo`lib, F(h y₀, ...,у_p) o`z argumentlari (х, у<sub>0</sub>, ..., у<sub>p</sub>) ning o`zgarish sohasida aniqlangan funksiyadir.
Agar chekli ayirmalarni funksiyaning qiymatlari orqali ifodalasak (11.1) tenglama quyidagi ko`rinishga ega bo`ladi:
Ф (х, у(х), у (x+h), ..., y(x + ph)) = 0. (11.2)
Endi x ning х=nh (п=0, 1,2,...) ko`rinishdagi qiymatlarini olib, y(kh =y<sub>k</sub> deb belgilab olsak (11.2) tenglama
Q(n,y<sub>n</sub>,y<sub>n + 1</sub>, ...y<sub>n+p</sub>) = 0 (n = 0,1,2, ...) (11.3)
ko`rinishga ega bo`ladi.
Biz (11.3) ko`rinishdagi tenglamaning eng sodda ko`rinishini, ya`ni у_к larga nisbatan chiziqli bo`lgan
(11.4)
tenglamani qaraymiz. Bu tenglama n - tartibli chiziqli-ayirmali tenglama deyiladi. Bu yerda а<sub>i</sub>(п) koeffisiyentlar va f(n) ozod had p (butun sonlar)ning ixtiyoriy funksiyalari. Ozod hadi nolga teng bo`lgan L(z)=0 tenglama bir jinsli deyiladi. Agar с_i larga konkret qiymatlar berib,
Z=z(n, c₁ ,с₂, ..., с_п)
formuladan qaralayotgan tenglamaning barcha yechimlarini topish mumkin bo`lsa, bunday formula umumiy yechim deyiladi. Agar v va у bir jinsli bo`lmagan L(v)= h tenglamaning xususiy va umumiy yechimi bo`lsa, u holda z = у -v bir jinsli tenglamaning yechimi bo`ladi: L(u - ) = L(u) - L( ) = h - h = 0. Shunday qilib, bir jinsli bo`lmagan tenglamaning umumiy yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bilan bir jinsli bo`lmagan tenglamaning xususiy yechimining yig`indisiga teng: у = z + . Agar barchasi birdaniga nolga teng bo`lmagan с₁, с₂, ..., с_т lar mavjud bo`lib,
(11.5)
o`rinli bo`lsa, u holda bir jinsli tenglama L(u) =0 ning i<sup>(1)</sup>, i<sup>(2)</sup>,..., i<sup>(т)</sup>
yechimlari argumentning с<sub>i</sub>. = 0(i = 1,n) da bajarilsa, bu yechimlar chiziqli erkli deyiladi. Agar z<sup>(i)</sup> bir jinsli tenglama L(z) = 0 ning yechimi bo`lsa, u holda ularning chiziqli kombinatsiyaci ham bu tenglamaning yechimi bo`ladi, chunki

Qulaylik uchun (11.4) tenglamaning п 0 qiymatlar uchun qaraymiz.