Chekli-ayirmali tenglamalar

2-teorema. (11.15) xarakteristik tenglamaning ildizlariga mos keladigan (11.16) yechimlar fundamental sistemani tashkil etadi.
Isbot. (11.16) funksiyalar sistemasini orqali belgilab olib, ularning dastlabki qiymatlaridan tuzilgan quyidagi determinantni qaraymiz:

Agar (11.15) xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari tub bo`lsa, u holda ularga mos keluvchi (11.16) sistema bo`lib, Vandermond determinanti bo`ladi va shuning uchun . Umumiy holda ham ekanini ko`rsatish mumkin. Bu prinsip jihatdan qiyin emas, lekin katta hisoblashlarni bajarishga to`g`ri keladi. Biz bunga to`xtalib o`tirmaymiz. Endi deb hisoblab, z ,…,Z⁽_n^p) ning fundamental sistema ekanini ko`rsatamiz. Aksincha , ya`ni bu sistemani chiziqli bog`langan deb faraz qilaylik. U holda barchasi bir vaqtda nolga teng bo`lmagan shunday с_1,..., с_n topiladiki,

barcha p lar, xususiy holda p = 0,1,...,r -I uchun o`rinli bo`ladi.
Lekin shartda sistema

faqat trivial yechimga ega bo`ladi. Shunday qilib, sistema chiziqli erkli ekan. Endi (11.10) sistemaning har bir yechimi bu sistemaning chiziqli kombinatsiyasi ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham,

sistema ixtiyoriy uchun yechimga ega. Demak ixtiyoriy yechim z_n uchun shunday с₁,...,с_p larni ko`rsatish mumkin, bir jinsli tenglamaning yechimi

n = 0,1,...,p -1 uchun z _n bilan ustma-ust tushadi. Ayirmali tenglamaning z₀ ,z₁ ,…z_p-1 dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan yechimining yagonaligidan barcha n lar uchun z_n = i_п ligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.
3-teorema. Karraliligi к ga teng bo`lgan <sub>1</sub> ildizga mos keluvchi (11.10) tenglamaning xususiy yechimlaridan tuzilgan
(11.17) chiziqli kombinatsiyalarningto`plami ixtiyoriy (k-1) - darajali ko`phadlar uchun
(11.18)
funksiyalar to`plami funksiya n ga nisbatan q-1 darajali ko`phad bo`lgani uchun (11.17) ko`rinishdagi har bir funksiyani (11.18) ko`rinishda yozish mumkin. Ikkinchi tomondan, Р_k-1(п) ixtiyoriy (k-1)-darajali ko`phad bo`lsin. Ixtiyoriy k tugun uchun (k - 1)-darajali har bir Р_k-1(п) ko`phad o`zi uchun interpolyatsion ko`phad bo`ladi. Shuning uchun ham Nyuton interpolyatsion formulasida

deb olish mumkin. Bundan tashqari, х_j =j-1 va x = n deb olsak, u holda

ga ega bo`lamiz, bu yerda В_j = P_k-1(0,…j)_,(0, ...,у). Bu tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin:

Demak, (11.18) ko`rinishdagi har bir funksiyani (11.17) ko`rinishda yozish mumkin. Teorema isbot bo`ldi.
Shunday qilib, (11.16) fundamental sistema o`rniga ushbu

fundamental sistemani olish mumkin.