Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari

1.5-misol.A(3,1) nuqtadan o'tuvchi va 2x+3y-1 = 0 to'g'ri chiziqqa 45 o burchak ostida qiya bo'lgan chiziqlar tenglamalarini tuzing.
Yechim.y=kx+b ko‘rinishida qidiramiz. Chiziq A nuqtadan o'tganligi sababli, uning koordinatalari chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya'ni. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Chiziqlar orasidagi burchak y= k 1 x+b 1 va y= kx+b tg formula bilan aniqlanadi. j = . 2x+3y-1=0 asl chiziqning qiyaligi k 1 bo'lgani uchun - 2/3, burchak esa. j = 45 o , u holda k ni aniqlash uchun tenglamamiz bor:
(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 yoki (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.
Bizda k ning ikkita qiymati bor: k 1 = 1/5, k 2 = -5. b = 1-3k formulasi bo'yicha b ning mos keladigan qiymatlarini topib, biz ikkita kerakli chiziqni olamiz, ularning tenglamalari: x - 5y + 2 = 0 va 5x + y - 16 = 0.
1.6-misol. Parametrning qaysi qiymatida t 3tx-8y+1 = 0 va (1+t)x-2ty = 0 tenglamalari parallel bo'lgan chiziqlar?
Yechim.Umumiy tenglamalar bilan berilgan to'g'ri chiziqlar, agar koeffitsientlar at bo'lsa, parallel bo'ladi x Va y proportsional, ya'ni. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Olingan tenglamani yechib, topamiz t: t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3.
1.7-misol. Ikki doira umumiy akkord tenglamasini toping:
x 2 +y 2 =10 va x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.
Yechim.Doiralarning kesishish nuqtalarini toping, buning uchun biz tenglamalar tizimini yechamiz:
.
Birinchi tenglamani yechishda biz x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1 qiymatlarini topamiz. Ikkinchi tenglamadan - mos keladigan qiymatlar y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. Endi biz ushbu chiziqqa tegishli ikkita A (3,1) va B (1,3) nuqtalarni bilib, umumiy akkord tenglamasini olamiz: (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) yoki y+ x - 4 = 0.
1.8-misol. Koordinatalari (x-3) 2 + (y-3) 2 shartlarni qanoatlantiradigan nuqtalar tekislikda qanday joylashgan.< 8, x >y?
Yechim.Tizimning birinchi tengsizligi doiraning ichki qismini belgilaydi, chegarani o'z ichiga olmaydi, ya'ni. markazi (3,3) nuqtada va radiusda bo'lgan doira. Ikkinchi tengsizlik tenglamasi x = y bo'lgan to'g'ri chiziq bilan aniqlangan yarim tekislikni belgilaydi va tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun to'g'ri chiziqning o'zi nuqtalari yarim tekislikka tegishli emas va bu to'g'ri chiziq ostidagi barcha nuqtalar. chiziq yarim tekislikka tegishli. Biz ikkala tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalarni qidirayotganimiz sababli, kerakli maydon yarim doira ichki qismidir.