Chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari

7. х=4 , у=3 to’g’ri chiziq yasalsin va uning yo’naltiruvchi vektori topilsin .
8. to’g’ri chiziq yasalsin va uning yo’naltiruvchi vektori topilsin.
9. А(-1;2;3) va B(2;6;-2) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamalari yozilsin va uning yo’naltiruvchi kosinuslari topilsin .
10. А(4;-3;1) nuqtadan chiqib V tezlik bilan harakat qiluvchi М(x;y;z) nuqta traektoriyasining tenglamalari yozilsin.
11. 1) (-2;1;-1) nuqtadan o’tuvchi va P vektorga parallel bo’lgan;
2)А(3;-1;4) va B(1;1;2) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqning tenglamalari yozilsin.
Ikkinchi tartibli egri chiziqlar
Ellipsning kanonik tenglamasi:
Aylananing kanonik tenglamasi: ;

Giperbola va uning kanonik tenglamasi

Parabola tenglamasi ;
1. 9х²+25у²=225 1)yarim o’qlarini; 2) uning fokuslarini 3) eksstentrisiteti va 4) direktrisa tenglamalari topilsin.
2. Agar ellipsning: 1) katta yarim o’qi а=10, eksstentrisiteti bo’lsa, uning kanonik tenglamasi yozilsin.
3. Giperbola fokuslari ordinata o’qida koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan giperbola tenglamasini tuzing va quyidagilarni bilgan holda:
1) yarim o’qlari a=6 b=18 bo’lgan;
2) fokuslari orasidagi masofa 2с=10, ekssentrisiteti bo’lgan
3) asimptota tenglamalari va uchlari orasidagi masofa 48;
4) Direktrisalari orasidagi masofa ga teng va ekssentrisiteti bo’lgan giperbolaning kanonik tenglamasi yozilsin.

Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.
Tenglama koeffitsientlari orasida a 11 , a 12 , a 22 noldan boshqa koeffitsientlar mavjud deb taxmin qilinadi.
Markazi C(a, b) nuqtada joylashgan va radiusi R ga teng aylana tenglamasi:
(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)
Ellipsnuqtalarning joylashuvi deyiladi, ularning ikkita berilgan F 1 va F 2 (fokuslar) nuqtalaridan masofalari yig'indisi 2a ga teng doimiy qiymatdir.
Ellipsning kanonik (eng oddiy) tenglamasi
x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)
(2.10) tenglama bilan berilgan ellips koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir. Parametrlar a Va b chaqirdi aks vallari ellips.
a>b bo'lsin, u holda F 1 va F 2 fokuslari Ox o'qida masofada joylashgan
c = kelib chiqishidan. Nisbati c/a = e < 1 называется ekssentriklik ellips. Ellipsning M(x, y) nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalar (fokal radius vektorlari) quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x.
Agar a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b, r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x.
Agar a = b bo'lsa, u holda ellips radiusning boshida joylashgan doiradir a.
Giperbolanuqtalar joylashuvi deyiladi, ularning masofalari berilgan ikkita nuqtadan F 1 va F 2 (fokuslar) mutlaq qiymatida berilgan 2a soniga teng.
Giperbolaning kanonik tenglamasi
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)
(2.11) tenglama bilan berilgan giperbola koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir. U Ox o'qini A (a,0) va A (-a,0) nuqtalarda - giperbolaning cho'qqilarida kesib o'tadi va Oy o'qini kesmaydi. Parametr a chaqirdi haqiqiy yarim o'q, b -xayoliy o'q. Parametr c= - bu fokusdan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa. Nisbati c/a = e >1 chaqiriladi ekssentriklik giperbola. Tenglamalari y = bo'lgan to'g'ri chiziqlar± b/a x deyiladi asimptotlar giperbola. Giperbolaning M(x,y) nuqtasidan uning o`choqlari (fokal radius vektorlari)gacha bo`lgan masofalar quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
r 1 = ê e x - a ê, r 2 = ê e x + a ê.
a = b bo'lgan giperbola deyiladi teng qirrali, uning tenglamasi x 2 - y 2 \u003d a 2 va asimptotlar tenglamasi y \u003d± x. Giperbolalar x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 va
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 deyiladi konjugatsiyalangan.
parabolaBerilgan nuqta (fokus) va berilgan chiziqdan (direktrix) teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi.
Parabolaning kanonik tenglamasi ikki shaklga ega:
1) y 2 \u003d 2px - parabola Ox o'qiga nisbatan simmetrikdir.
2) x 2 \u003d 2py - parabola Oy o'qiga nisbatan simmetrikdir.
Ikkala holatda ham p>0 va parabolaning tepasi, ya'ni simmetriya o'qida yotgan nuqta koordinata boshida joylashgan.
y 2 = 2rx tenglamasi fokusi F(r/2,0) va direktrisasi x = - r/2, M(x, y) nuqtaning fokal radius vektori r = x+ r/2 bo'lgan parabola.
Tenglamasi x 2 =2py bo'lgan parabola fokusi F(0, p/2) va direktrisa y = - p/2; parabolaning M(x, y) nuqtasining fokus radiusi vektori r = y + p/2.
F(x, y) = 0 tenglamasi tekislikni ikki yoki undan ortiq qismlarga ajratuvchi chiziqni belgilaydi. Bu qismlardan birida F(x, y) tengsizlik<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Boshqacha aytganda, chiziq F(x, y)=0 tekislikning F(x, y)>0 bo‘lgan qismini F(x, y) bo‘lgan qismdan ajratadi.<0.
Tenglamasi Ax+By+C = 0 boʻlgan toʻgʻri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi. Amalda, qaysi yarim tekislikda Ax + By + C ekanligini aniqlash uchun<0, а в какой Ax+By+C>0, uzilish nuqtasi usulini qo'llang. Buning uchun nazorat nuqtasini oling (albatta, to'g'ri chiziqda yotmaslik, tenglamasi Ax + By + C = 0) va bu nuqtada Ax + By + C ifodasi qanday belgiga ega ekanligini tekshiring. Xuddi shu belgi boshqaruv nuqtasi joylashgan butun yarim tekislikda ko'rsatilgan ifodaga ega. Ikkinchi yarim tekislikda Ax+By+C teskari belgiga ega.
Ikki noma’lumli chiziqli bo‘lmagan tengsizliklar ham xuddi shunday yechiladi.
Masalan, x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 tengsizlikni yechamiz.Uni (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0 shaklida qayta yozish mumkin.
(x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 tenglama markazi C(2,-3) nuqtada va radiusi 5 ga teng bo'lgan doirani aniqlaydi. Doira tekislikni ikki qismga ajratadi - ichki va tashqi. Bu tengsizlik ularning qaysi birida sodir bo'lishini bilish uchun biz ichki mintaqadagi nazorat nuqtasini olamiz, masalan, doiramizning markazi C(2,-3). C nuqtaning koordinatalarini tengsizlikning chap tomoniga qo'yib, manfiy -25 sonini olamiz. Demak, aylana ichida yotgan barcha nuqtalarda tengsizlik
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.