Chiziqli bir jinsli bo’lmagan 2-tartibli differensial tenglamalar (X) + (X) + (X)y=b(X) (1) (X) +

y= + = xsin2x+ *cos2x+ sin2x+ cos2x
O’zgarmas koeffitsiyentli chiziqli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar
1.Chiziqli, bir jinsli, o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar
Chiziqli,bir jinsli,o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
+p +qy=0 (17)
Ma’lumki, chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning fundamental xususiy yechimlarini topish yetarli edi.
Ikkinchi tartibli,chiziqli,bir jinsli,o’zgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamaning fundamental xususiy yechimlar sistemasini qanday topish kerarligini ko’rsatamiz.Bu tenglamaning xususiy yechimini
y= (18)
ko’rinishida izlaymiz.Bu funksiyani ikki marta differensiyalab, y, , ning ifodalarini (17) ga qo’yb quyidagini hosil qilamiz.
+q =0
0 bo’lgani uchun ,oxirgi tenglikni ga qisqartrib
+q=0 (19)
Tenglamani hosil qilamiz.Bu tenglamadan k ning funksiyaning (17) tenglama yechimi bo’ladigan qiymatlarini aniqlaymiz.
k koeffitsiyentni aniqlash uchun xizmat qiladigan (19) tenglama (17) differensial tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.har xil
(19) Xarakteristik tenglama ikkinchi darajali tenglama bo’lgani uchun ikkita ildizga eg.Bu ildizlarning haqiqiy va har xil,haqiqiy karrali,ikkita qo’shma kompleks bo’lish mumkin.Ularni alohida-alohida qarab chiqamiz:
1) Xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’yicha haqiqiy va
Bu holda (18) formula bo’yicha ikkita xususiy yechim topamiz = , =
Bu ikkita xususiy yechim chiziqli bog’lanmagan,chunki
=
Shuning uchun ular fundamental sistema tashkil qiladi.
Demak, (17) tenglamaning umumiy yechimi
= + (20)
2) Xarakteristik tenglamalarning ildizlari karrali: =k;
(18) formula bo’yicha faqat bitta = xususiy yechimni hosil qilamiz.Bu yechim bilan fundamental sistema hosil qiluvchi xususiy yechimning ifodasi
ko’rinishida bo’lishini ko’rsatamiz.
Dastlab, (x)= funksiya (17) differensial tenglamaning yechimi bo’lishini tekshiramiz. Haqiqatan ham,
+p +q = +p +q =2 + +p( )+q += [2 x+p+px ]= [x( +p ]
xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lganligi uchun +p
Bundan tashqari,Viet teoremasiga ko’ra
Shuning uchun
Demak, +p +q =0 , yechim funksiya haqiqatan ham (17) differensial tenglamaning yechimi bo’ladi.
Topilgan yechimlar fundamental sistemani tashkil qiladi:
= =
Shunday qilib, bu holda yechim
= + ) (21)