Chiziqli fazo ta`rifi va xossalari 6

CAA ¹
A ¹ kelib chiqadi
(CA) A ¹
EA ¹ A ¹

4. 
   Evklid fazosi va uni sodda xossalari.
   

R haqiqiy chiziqli fazo haqiqiy evklid fazosi ( yoki evklid fazosi) deyiladi agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   Ushbu fazoning ixtiyoriy ikkita x va y elementlariga ularni skalyar
   

ko`paytmasi deb ataluvchi bo`lsa.
(x, y)
haqiqiy sonni mos qo`yish qoidasi berilgan

2. 
   Ushbu aniqlangan skalyar ko`paytma quyidagi to`rtta aksiomani
   

qanoatlantirsa:

1. (x, y)
y, x)
(o`rin almashtirishlik va simmetriklik xossasi).

2. (x₁
x₂ , y)
(x₁ , y)
(x₂ , y)
(tarqatish xossasi).

3. (
x, y)
(x, y)
barcha haqiqiy lar uchun.

4. (x, x)
0 , agarda x noldan farqli element bo`lsa;
(x, x)
0 , agar x nol

element bo`lsa.

Agar o`rganiladigan ob`ektlar va yoqorida sanalgan qoidalar berilgan bo`lsa , u holda evklid fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi.
Evklid fazosiga misollar keltiramiz.

1. 
   misol. Barcha erkin vertorlarning
   

B₃ ^{chiziqli fazosini qaraylik.Ikkita}

ixtiyoriy vektorining skalyar ko`paytmasini analitik geometriyaga aniqlanga skalyar ko`paytma kabi kiritaylik( ya`ni bu vektorlar uzunligini ko`paytmasiga ular orasidagi burchak kosinusini ko`paytmasi).U holda ko`rish qiyin emaski

skalyar ko`paytmadagi 1- 4 xossalar bajariladi. Demak, skalyar ko`paytmaga nisbatan evklid fazosi bo`ladi.
B₃ ^{fazo ushbu aniqlangan}

2. 
   misol. Barcha
   

a x b
oraliqda aniqlangan va uzluksiz
x(t)

funksiyalarning
C[a,b]
cheksiz o`lchovli chiziqli fazosini qaraylik. Ikkita
x(t)

va y(t) funksiyalarning skalyar ko`paytmasini bu funksiyalarni ko`paytmasini ( a


^dan b ^{gacha ) integrali sifatida aniqlaymiz:}


b
x(t )y(t )dt. (1)
a
Sodda ko`rish mumkinki skalyar ko`paytmadagi 1-4 xossalar bajariladi.Demak,
C[a,b] fazo ushbu aniqlangan (1) skalyar ko`paytmaga nisbatan cheksiz

o`lchovli evklid fazosi bo`ladi.

3. 
   misol. n o`lchovli chiziqli
   

Aⁿ fazo evklid fazosiga misol bo`la

oladi.Agarda unda ixtiyoriy ikkita x
(x₁ , x₂ ,...,x_n ) ^va y
( y₁ , y₂ ,...,y_n )

vektorlar uchun skalyar ko`paytmani quyidagicha aniqlasak

(x, y)