Chiziqli fazo ta`rifi va xossalari 6

x₁ y₁
x₂ y₂
...
x_n y_n
(2)

Ko`rish qiyin emaski,ushbu kiritilgan skalyar ko`paytma uchun 1- 4 aksiomalar bajariladi.
Bu evklid fazosi ko`p hollarda E<sup>n</sup> orqali belgilanadi.
4-misol.Ushbu A<sup>n</sup> chiziqli fazoda skalyar ko`paytmani (2) dan farqli ,unga
nisbatan umumiy bo`lgan holda kiritaylik.
Buning uchun n tartibli ushbu kvadrat matritsani qaraymiz:

a₁₁ a₁₂ ... a_1n
A a₂₁ a₂₂ ... a_2n

(3)

... ... ... ...

^an1
^an2
...
^ann

Ushbu matritsa yordamida ko`phad tuzamiz:
x<sub>1</sub> , x<sub>2</sub> ,...,x<sub>n</sub>
n <sup>o`zgaruvchili bir jinsli ikkinchi tartibli</sup>

n n
i 1 k 1
a_ik x_ix_k , (4)

Bunday ko`phad (3) matritsadan tuzilgan kvadtik forma deyiladi. (4) kvadratik forma musbat aniqlangan deyildi, agarda u


x₁ , x₂ ,...,x_n

o`zgaruvchilarning hammasi bir vaqtda nol teng bo`lmagan qiymatlarida musbat qiymatni qabul qilsa. Demak, musbat aniqlangan kvadratik forma faqat

x₁ x₂
... x_n
0 ^{bo`lganda nolga teng,boshqa barcha hollarda musbat qiymat}

qabul qiladi.

3. 
   matritsa quyidagi ikkita shartni qanoatlantirsin:
   

1. 
   U musbat aniqlangan (4) kvadratik formani ifodalasin.
   
2. 
   Simmetrik bo`lsin (bosh dioganalga nisbatan) ya`ni barcha i
   

1,2,..., n va

k 1,2,..., n
lar uchun
^aik ^aki
shartni qanoatlantirsin.

1- va 2- shartlarni qanoatlantiruvchi (3) matritsa yordamida Aⁿ fazodagi

^ikkita x
(x₁ , x₂ ,...,x_n ) ^va y
( y₁ , y₂ ,...,y_n )
lar uchun skalyar ko`paytmani

quyidagicha aniqlaymiz:

(x, y)

n n
i 1 k 1


a_ik x_i y_k ,

(5)

Oson ko`rish mumkinki, bunday aniqlangan skalyar ko`paytma uchun 1-4 arsiomalar bajariladi.
Ta`rif. Chiziqli R fazo normallangan deyiladi, agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   R dagi har bir x element uchun unning normasi ( uzunligi) deb ataluvchi va
   

x deb belgilanuvchi haqiqiy son mos qo`yadigan qoida aniqlamgan bo`lsin.

2. 
   Ushbu aniqlangan qoida uchun quyidagi uchta aksioma bajarilsin:
   

1 x 0 , agarda x noldan farqli element bo`lsa, x
^{0 agarda} x
0 ^element

bo`lsa.

2. 
   x
   

barcha x elementlar va barcha haqiqiy sonlar uchun.

2. 
   Ixtiyoriy x va y elemenlar uchun quyiqagi uchburchak tengsizligi yoki
   

Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi

x y
tengsizlik o`rinli.

II bob. Chiziqli operatorlar.

1. 
   Chiziqli operator tushunchasi va ularning asosiy xossalari.
   

1. 
   ^{ta`rif.</sup> V <sup>va</sup> W <sup>lar mos ravishda</sup> n <sup>va</sup> m <sup>o`lchovli chiziqli fazolar bo`lsin.} V
   

ⁿⁱ W ^{ga o`tqazuvchi A operator deb,}
A:V
akslantirishga aytiladiki, u V

^{ning har bir} x ^elementini W ^{fazoning biror} y ^{elementiga o`tqazadi.}

2. 
   ^{ta`rif.</sup> V <sup>ni</sup> W <sup>ga o`tqazuvchi A operator chiziqli operator deyiladiki, agarda}
   

21. 
    ^{ning ixtiyoriy ikkita} bajarilsa:
    

x₁ ^va
x₂ ^{hamda λ kompleks son uchun quyidagi shartlar}

1. 
   A(x₁
   

x₂ )
Ax₁
Ax₂
(operatorni additivligi)

2. 
   A( x) Ax (operatorning bir jinsligi)
   

^Agar W ^{fazo kompleks tekislikdan iborat bo`lsa, u holda</sup> V <sup>ni</sup> W <sup>ga o`qazuvchi}
A chiziqli operator chiziqli forma yoki chiziqli funksional deyiladi.
^Agar W ^fazo V ^{fazo bilan ustma-ust tushsa, u holda} V ⁿⁱ V ^{ga o`tqazuvchi</sup> chiziqli operator V fazoni chiziqli almashtirishi deyiladi.
<sup>A va B</sup> V <sup>ni</sup> W <sup>ga o`tqazuvchi ikkita chiziqli operator bo`lsin. Bu}

operatorlarning A
aytamiz:
B yig`indisi deb quyidagi tenglik bilan aniqlangan operatorga

( A B)x Ax Bx (1)

A operatorning λ skalyarga ko`paytmasi operatorga aytiladi:
deb , quyidagi tenglik bilan aniqlangan

( Ax) (2)


O nol operator deb, V fazoning barcha elementlarini W fazoning nol elementiga o`tqazuvchi operatorga aytiladi:

A operatorga qarama-qarshi operator deb quyidagicha aniqlangan A operatorga aytiladi:

^{Tasdiq. Barcha} V ⁿⁱ W <sup>ga o`tqazuvchi operatorlarning</sup>
L(V ,W )
to`plami

yuqorida aniqlangan operatorlarni qo`shish va songa ko`paytirish amallari hamda tanlangan nol operator va qarama-qarshi operatorlarga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.

L(V ,W ) to`plamni o`rganamiz.

Aynan yoki birlik I operator deb quyidagi operatorga aytiladi:

^{(bu erda} x V ^{fazoning ixtiyoriy elementi)}

L(V ,W )
L(V ,W )
fazoda operatorlarning ko`paytmasi tushunchasini kiritamiz.
fazodagi A va B operatorlarning AB ko`paytmasi deb, quyidagi

operatorga aytiladi:
Umumiy holda

( AB)x

A(Bx)

(3)

AB BA
L(V ,W ) fazodagi chiziqli operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   ( AB) ( A)B
   

2. 
   ( A
   
3. 
   A(B
   

2. 
   C AC BC
   
3. 
   AB AC
   

(4)

4. ( AB)C A(BC )

2. 
   xossadan L(V ,W ) fazodagi chekli sondagi operatorlar uchun ko`paytmani
   

aniqlash mumkinligi kelib chiqadi va xususan A operetorning n darajasi quyidagi formula orqali aniqlanadi:

Ravshanki,

munosabat o`rinli.
_An
_An m
AA...A
_An _Am

3. 
   tarif.
   

L(V ,V )
dagi A operator uchun
L(V ,V )
dagi chiziqli B operator teskari

operator deyiladi, agarda

AB BA I
bo`lsa.

A operatorga teskari operator odatda
x ^uchun
A ¹ orqali belgilanadi, demak ixtiyoriy

A ¹ Ax
Shunday qilib, agar
x
A ¹ Ax
^{0 bo`lsa, u holda</sup> x
0 <sup>bo`ladi, ya`ni agar A teskari}

^{operatorga ega bo`lsa, u holda} Ax
0 ^ekanligidan x
0 ^{kelib chiqadi.} V ^dan V

ga o`tqazuvchi A chiziqli operator o`zaro bir qiymatli deyiladi, agarda ixtiyoriy

ikkita har xil kelsa.
x₁ ^va
x₂ ^{elementlarga har xil}
y₁ Ax₁ ^va
y₂ Ax₂
elementlar mos

^{Agar A operator} V ^dan V ^{ga o`zaro bir qiymatli o`tqazsa, u holda}

A:V
^akslantirish V ⁿⁱ V ^{ga akslantiradi,ya`ni har bir}
y element

o`zining biror x obraziga ega bo`ladi:



^{Bu faktrni o`rinli ekanligini isbotlash uchun} V ^fazoning n ^{ta chiziqli erkli}

x₁ , x₂ ,...,x_n
elementlarini bu fazoning n ta chiziqli erkli
Ax₁ , Ax₂ ,...,Ax_n

elementlariga akslanishini ko`rsatish etarli.

x₁ , x₂ ,...,x_n
^lar V ^{fazoning chiziqli erkli elementlari bo`lsin. Agar}

₂ Ax₂
...
_n Ax_n
0 bo`lsa, u holda ^A chiziqli operator ekanligidan

_n x_n ) 0
^{A operator} V ⁿⁱ V ^{ga bir qiymatli akslantirish ekanligidan}

kelib chiqadi.
n ^xn ⁰

Olishimizga ko`ra
x₁ , x₂ ,...,x_n
lar chiziqli erkli. Shu sababli

_n 0. Demak,
Ax₁ , Ax₂ ,...,Ax_n
elementlar chiziqli erkli.

Tadiq.