Chiziqli funksionallar

Chiziqli funksionallar
Aytaylik X haqiqiy chiziqli fazo bo‘lsin. Xuddi metrik fazolardagi kabi X ning har bir elementiga haqiqiy sonni mos qo‘yuvchi akslantirishni
funksional deb ataymiz.

shartlarni qanoatlantirsa, u holda f chiziqli funksional deyiladi.
Bu ikki shartni birlashtirib, ixtiyoriy elementlar va sonlar
uchun shart bajarilsa, u holda ni chiziqli funksional
deyiladi, deyish ham mumkin.
Izoh. Yuqoridagi birinchi tenglik funktsionalning additivlik xossasi, ikkinchi tenglik esa bir jinslilik xossasi deyiladi.
5.1. Chiziqli funksional uzluksizligi. Normalangan fazolardagi chiziqli funksionallar.
Chiziqli funksionalning uzluksizligi, xuddi metrik fazolardagi kabi aniqlanadi. Shu sababli, chiziqli funksional berilgan chiziqli fazoda yaqinlashish tushunchasi kiritilgan bo‘lishi lozim.
Aytaylik E normalangan fazo va f undagi chiziqli funksional bo‘lsin.
2-ta'rif. Agar E ning x₀ nuqtasiga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun munosabat bajarilsa, u holda f chiziqli funksional x₀ nuqtada uzluksiz deyiladi.
Bu ta’rifni normalangan fazo tushunchalari yordamida, quyidagicha aytish mumkin:
3-ta’rif. Agar ixtiyoriy kichik son uchun, shunday kichik son topilib, ekanligidan munosabat kelib chiqsa, u holda f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz deyiladi.
1-teorema. Agar f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz bo ‘lsa, u holda f funksional E ning ixtiyoriy nuqtasida uzluksiz bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik f chiziqli funksional nol nuqtada uzluksiz bo‘lsin. E ning biror x nuqtasini olamiz. Agar ketma-ketlik x ga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsa, u holda ketma-ketlik nolga yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Demak, chiziqli bo‘lgani uchun, bundan
kelib chiqadi. Bu esa, f ning x nuqtada uzluksizligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
2-teorema. Normalangan fazodagi chiziqli funksionalning uzluksiz bo ‘lishi uchun, uning birlikshardagi qiymatlari chegaralangan bo‘lishi zarur vayetarli.
Misollar. 1) Agar a haqiqiy son uchun deb olsak, u holda f
akslantirish R da chiziqli funksional bo‘ladi. Masalan,
2) Rⁿ fazoda chiziqli funksional. Koordinatalari haqiqiy sonlardan tuzilgan biror a=(a₁,a₂,...,a_n) vektor olamiz. Endi, Rⁿ ning ixtiyoriy
elementi uchun f chiziqli funksionalning qiymatini formula orqali
aniqlaymiz. Buning chiziqli funksional bo‘lishini tekshirish qiyin emas. Masalan, R fazoda ixtiyoriy x=(x_bx₂) uchun f(x)=2x₁+3x₂.
3) fazoda chiziqli funksional.
Ixtiyoriy uchun formula chiziqli funksional
aniqlaydi.
Shuningdek, biror funksiyani tayinlab, uchun
formula orqali fazodagi ixtiyoriy chiziqli funksional
aniqlanadi.
4. Gilbert fazosidagi chiziqli funksional.
Aytaylik H Gilbert fazosi, (•,•) undagi skalyar ko‘patma bo‘lsin. Agar biror y_o elementni tayinlab qo‘ysak, ixtiyoriy uchun

formula chiziqli funksional bo‘ladi.
Umuman olganda quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema. Gilbert fazosidagi ixtiyoriy f chiziqli funksional uchun shunday bir u_o element topiladiki, f(x)=(x,y_o) munosabat o‘rinli bo‘ladi.
5.2. Chiziqli funksional normasi. Qo‘shma fazo. Chiziqli funksionallarning sust yaqinlashuvi.
Aytaylik E normalangan fazo va f undagi chiziqli funksional bo‘lsin. Quyidagicha aniqlangan

son, ya’ni qiymatlarning birlik shardagi aniq yuqori chegarasi bo‘lgan son f funksionalning normasi deyiladi.
Masalan, yuqoridagi 1-misoldagi chiziqli funksional uchun 2 -
misol uchun 3 - misol uchun bo‘ladi.
Chiziqli funksionallar uchun qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz.

munosabatlar bilan aniqlanadi.
Bu tengliklarni tushunarli bo‘lishi uchun

kabi yozamiz. Demak, lar ham chiziqli funksionallardir. Bu amallarga
nisbatan chiziqli funksionallar to‘plami chiziqli fazo hosil qilishi ravshan.
Shuningdek, E normalangan fazodagi f₁ va f₂ funksionallarning uzluksizligidan laming uzluksizligi kelib chiqadi. Kelgusida, barcha
uzluksiz chiziqli funksionallar fazosini E* orqali belgilaymiz va E ga qo ‘shma fazo deyiladi.
Aytaylik E normalangan fazo bo‘lsin.