Chiziqli funksionallar

4-ta’rif. Agar E dan olingan elementlar ketma-ketligi va ixtiyoriy f uzluksiz chiziqli funksional uchun sonlar ketma-ketligi ga yaqinlashsa,
ya’ni munosabat bajarilsa, u holda {x_n} ketma-ketlik x₀ elementga sust
yaqinlashadi deyiladi.
3-teorema. Agar sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lsa, u holda shunday bir C o ‘zgarmas son topiladiki, bo ‘ladi. Boshqacha aytganda,
normalangan fazodagi sust yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi.
Misollar. 1) Rⁿ fazoda sust yaqinlashish mos koordinatalar yaqinlashishi bilan ustma - ust tushadi.
2) C[a,b] fazoda sust yaqinlashish.
Aytaylik funksiyalar ketma-ketligi sust yaqinlashishi uchun
a) u tekis chegaralangan, ya’ni barcha bo‘lishi;
b) har bir nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lishi zarur.
6-§. Chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning uzluksizligi, xossalari
6.1. Chiziqli fazolardagi chiziqli operatorlar
Aytaylik X va Y haqiqiy sonlar maydoni ustida berilgan chiziqli fazolar, hamda ular orasida akslantirish berilgan bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar har qanday uchun

munosabat o‘rinli bo‘lsa, T chiziqli akslantirish yoki chiziqli operator deyiladi.
Misollar. 1) bo‘lsin. T akslantirish X ning har bir x
= (x_b x₂, . . x_n) elementiga Tx = (y_b y₂,. . y_m) elementni mos qo‘ysin. T ning chiziqli operator ekanligini tekshirish qiyin emas.
Umuman T chiziqli akslantirish Rⁿ fazoni R^m fazoga o‘tqazsa u mxn o‘lchamli matritsadan iborat ekanligi chiziqli algebra kursidan ma’lum.
Haqiqatan, Rⁿ dagi bazisni e₁₅e₂,...,e_n orqali R^m dagi bazisni ^f2v, ^fm
orqali belgilab ixtiyoriy uchun yoyilmaga ega bo‘lamiz.
Berilgan T akslantirish chiziqli operator bo‘lgani uchun uni

kabi yozish mumkin. Endi bo‘lgani uchun bu elementni f_x,f₂,..., f_m bazis
orqali ifodalaymiz:
Bu yoyilmadagi aj koeffitsentlar T akslantirishning matritsa ko‘rinishdagi yozuvi elementlarini tashkil qiladi.
Yuqoridagi T(x_b x₂,. . ., x_n)=(y₁, y₂,. . ., y_m) akslantirishning matritsa ko‘rinishi quyidagicha:


kabi aniqlaymiz.
T chiziqli operator bo‘ladi.
Haqiqatan, agar a=( a₁, a₂,..., a_n), b=( b₁, b₂,..., b_n) ixtiyoriy elementlar bo‘lsa , u holda
torni
Bu yerda K(t,s) funksiya to‘plamda uzluksiz deb olinadi.
Osongina tekshirish mumkin (integral xossasidan foydalanib), T operator C[0,1] fazoni C[0,1] fazoga aks ettiruvchi chiziqli operator bo‘ladi.
6.2. Normalangan fazolardagi chiziqli operatorlar
Aytaylik X va Y normalangan fazolar, T esa X ni Y ga akslantiruvchi chiziqli operator bo‘lsin.
2-ta'rif. Agar Toperator uchun
tengsizlikni qanoatlantiruvchi soni mavjud bo‘lsa, u holda T operator
chegaralangan deyiladi.
Teorema. Berilgan chiziqli operator uzluksiz bo ‘lishi uchun uning
chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Berilgan T chiziqli operator uzluksiz, ammo chegaralanmangan bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda ixtiyoriy n natural son uchun shunday element topiladiki, tengsizlik bajariladi.
Ravshanki, Ushbu elementni olsak, ko‘rinib turibdiki
T uzluksiz bo‘lgani uchun bo‘ladi. Ammo

Yetarliligi. Aytaylik T chegaralangan chiziqli operator bo‘lsin. U holda ta’rifga ko‘ra shunday M topiladiki, bo‘ladi. Agar {x_n} ketma -
ketlik 0 ga intilsa, u holda bo‘lishi ravshan. Demak,

Bundan T operatorning 0 nuqtada va, demak fazoning har bir nuqtasida uzluksizligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Endi normalangan fazolarda operatorning normasini aniqlaymiz.