Chiziqli funksionallar

3-ta’rif. T chiziqli operatorning normasi deb

kabi aniqlanadigan songa aytiladi:
Operator normasini hisoblash uchun turli formulalar bor.
Lemma. Normalangan fazo X da aniqlangan T operator uchun

tengliklar o‘rinli.
Isboti. Ixtiyoriy bo‘lgan x element uchun
o‘rinli, bundan kelib chiqadi. Demak, ya’ni
(*)
bo‘lishi tushunarli.
Agar bo‘lsa, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi
ixtiyoriy b sonni olamiz. Ta’rifga asosan shartni qanoatlantiruvchi,
noldan farqli(x₀ Ф 0) x₀ element topiladi. Demak, elementni olsak, u
holda bo‘ladi va bundan
munosabatga ega bo‘lamiz. Olingan b son dan kichik ixtiyoriy
son bo‘lgani uchun oxirgi tengsizlikdan tengsizlik hosil bo‘ladi. Bu
tengsizlikni yuqoridagi (*) tengsizlik bilan solishtirib kerakli munosabatni olamiz.
Misollar. 4) Nol operator (X ning ixtiyoriy x elementi uchun) tenglik bilan aniqlanadi. Bu holda, ko‘rinib turibdiki
5) Birlik operator I ni qaraymiz. Ixtiyoriy x element uchun Ix=x bo‘lganligi sababli

tenglik o‘rinli. Demak,
6) Normalangan X fazoda T chiziqli operatorni quyidagicha aniqlaymiz: Tx haqiqiy son. U holda

ya’ni, ushbu operator uchun ekan.
7) bo‘lsin. n - o‘lchamli Xfazoda bazisni, m
- Y fazoda bazisni olamiz.
Ravshanki, chiziqli operatorni bazis elementlarida
aniqlash yetarli. Natijada, T operator matritsa yordamida aniqlanib, u
elementga ushbu ko‘rinishda qo‘llanadi:

Endi X va Y fazolarda Evklid normasini qarasak, u holda T chegaralangan chiziqli operator bo‘ladi, hamda uning normasi

kabi hisoblanadi.
Xususan, agar X va Y chekli o‘lchamli fazolar Evklid normasi bilan qaralsa, u holda ixtiyoriy chiziqli operator uzluksiz bo‘ladi.
6.3. Chiziqli operatorlar fazosi
X normalangan fazoni Y normalangan fazoga aks ettiruvchi barcha chiziqli operatorlar to‘plamini L(X,Y) orqali belgilaymiz.
Har qanday ikki T va S chiziqli operatorlar uchun ularning yig‘indisi T+S va T operatorni X songa ko‘paytmasi XT operator quyidagicha aniqlanadi:
4-ta’rif. T va S operatorlarning T+S yig‘indisi deb, shunday N operatorga aytiladiki, u har bir x elementga
N(x)=T(x)+S(x)
elementni mos qo‘yadi. Shuningdek,
Ravshanki, operatorlar ham chiziqli operatorlar bo‘ladi.
Shunday qilib, X ni Y ga aks ettiruvchi chiziqli operatorlar to‘plami L(X,Y) bu amallarga nisbatan chiziqli fazo bo‘lar ekan.
Operatorlar normasi uchun quyidagi xossalar o‘rinli.

Bu xossalaming isboti yuqorida keltirilgan lemma yordamida isbotlanadi. Masalan, 3- xossani isbotlaylik:

Demak, L(X,Y) chiziqli fazo yuqorida kiritilgan normaga nisbatan normalangan fazoga aylanar ekan.
Ikki uzluksiz operatorning yig‘indisi va uzluksiz operatorning songa ko‘paytmasi, uzluksiz operator bo‘lishi normalangan fazolardagi amallarning uzluksiz ekanligidan bevosita kelib chiqadi.
Agar X = Y bo‘lsa, L(X,Y) o‘rniga L(X) yozamiz.
Endi L(X) chiziqli fazoda ko‘paytma kiritamiz. Ko‘paytma sifatida operatorlarning kompozitsiyasi Tо S ni olamiz:
TS = Tо S, ya’ni (TS)(x) = Tо S(x) = T(S(x)).
Bu yerda operatorlar tengligini, ya’ni T = S ni X ning ixtiyoriy x elementi uchun bajariladi deb qaralishi kerak: Tx = Sx VxeX.
Ravshanki, T(SH)=(TS)H; T(S+H)=TS+TH; (S+H)T=ST+HT munosabatlar o‘rinli.
Demak, L(X) algebra ekan. Bu algebrani chiziqli operatorlar algebrasi deyiladi.
L(X) algebrada ko‘paytmaga nisbatan birlik element mavjud. Bu element I birlik operatordir. Birlik operator, ixtiyoriy x element uchun Ix=x munosabat orqali aniqlanadi.
Har bir T operator uchun TI=IT=T tengliklar bevosita kelib chiqadi.
Misollar. 8) L(R ) - ikki o‘lchamli fazodagi chiziqli operatorlar algebrasi bo‘lsin. Yuqoridagi ikkinchi misolda aytilganidek bu algebra 2x2 -o‘lchamli matritsalar algebrasidan iborat. Algebra kursidan ma’lumki, umuman T va S
matritsalar uchun TS matritsa ST matritsaga teng emas. Masalan, agar matritsalami qarasak,

bo‘ladi. Demak,
9) - operatorlar algebrasida