Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning gauss usuli

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING GAUSS USULI
Reja:

1. 
   Ikki noma‘lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi
   
2. 
   Uch noma‘lumli ikkita bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi
   
3. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli
   
4. 
   

1.Ikki noma‘lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi
Ikki noma‘lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi
(3.1)
ni qaraymiz. Bu yerdagi x va y noma‘lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma‘lum. lar sistema koeffitsientlari, b₁ va b₂ sonlar esa ozod had (son)lar deb ataladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish degan so’z, noma‘lum sonlarning shunday qiymatlari to’plamini topish demakki, ularni sistema tenglamalarining har biriga mos noma‘lumlarning o’rniga qo’yilganda ular ayniyatlarga aylanadi. Bunday sonlar to’plami sistemaning yechimi deyiladi. Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi sistema deb ataladi. Birgina yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniq sistema deb ataladi. Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas sistema deb ataladi. Birorta ham yechimga ega bo’lmagan sistema birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
Izoh. Keltirilgan ta‘riflar istalgan sistema uchun o’rinlidir.
(3.1) sistema bizga o’rta maktab kursidan ma‘lum . Uni yechishning o’riniga qo’yish, qo’shish va grafik usullari bilan tanishmiz.
Bu yerda (3.1) sistemani yechishning yana bir usuli ya‘ni uni determinantlardan foydalanib yechish usuli bilan tanishamiz. Sistemaning birinchi tenglamasini a₂₂ ga, ikkinchisini -a₁₂ ga ko’paytirib hadlab qo’shamiz:
(а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂)х=b₁а₂₂-b₂а₁₂. (3.2)
Shuningdek sistemaning birinchi tenglamasini -a₂₁ ga, ikkinchi
sini a₁₁ ga ko’paytirib hadlab qo’shsak
(а₁₁а₂₂-а₂₁а₁₂)у=b₂а₂₂-b₁а₁₂ (3.3)
hosil bo’ladi.
Δ= = = (3.4)
belgilashlarni kiritamiz.
Sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan Δ determinant sistemaning asosiy determinanti deb ataladi. determinant Δ dagi birinchi ustun elementlarini ozod sonlar bilan almashtirish natijasida, esa Δ dagi ikkinchi ustun elementlarini ozod sonlar bilan almashtirish natijasida hosil bo’ladi.
(3.4) dan foydalanib (3.2) va (3.3) formulalarni
(3.5)
ko’rinishida yozish mumkin.
Mumkin bo’lgan quyidagi hollarni qaraymiz.
I. Sistemaning asosiy determinanti Δ≠0 bo’lsin. U holda (3.5) ning har bir tenglamasini Δ ga bo’lib
х= , у= (3.6)
berilgan sistemaning yechimini topish formulasiga ega bo’lamiz. (3.6) formulalar uning ixtirochisi Shvetsariyalik matematik Kramer(1704-1752)ning sharafiga Kramer formulalari deb ataladi.
II. Sistemaning asosiy determinanti Δ=0 bo’lsin.
Bu holda quyidagilardan biri bo’ladi.
1) Δ_х=Δ_у=0 bo’lsin. U holda (3.5) =0, =0 ko’rinishini olib berilgan sistema cheksiz ko’p yechimlarga ega, chunki istalgan son bu tenglamalarni qanoatlantiradi.
2) Δ_х, Δ_у lardan kamida bittasi masalan Δ_х≠0 bo’lsin. U holda (3.5) ni birinchi tenglamasi =Δ_х≠0 ko’rinishiga ega bo’lib, u yechimga ega emas. Demak, bu holda berilgan sistema yechimga ega bo’lmaydi.
Xulosa. а) (3.1) sistemaning asosiy determinanti Δ≠0, ya‘ni а₁₁а₂₂ а₁₂а₂₁ yoki bo’lganda bu sistema yagona yechimga ega bo’lib, uning yechimi Kramer formulalari (3.6) yordamida topiladi.
b) Δ=Δ_х=Δ_у=0 ya‘ni bo’lganda
(3.1) sistema cheksiz ko’p yechimlarga ega (aniqmas);
d) Δ=0 bo’lib Δ_х, Δ_у lardan kamida bittasi noldan farqli ya‘ni

bo’lganda sistema yechimga ega bo’lmaydi (birgalikda emas).
(3.1) sitemaning yechimiga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. (3.1) sistemaning har bir tenglamasi to’g’ri chiziq tenglamasini ifodalashi ayon.
bo’lganda to’g’ri chiziqlar parallel bo’lmaydi. Demak har ikkala to’g’ri chiziq bitta nuqtada kesishadi. Ana shu kesishish nuqtasining koordinatalari (3.1) sistemasining yechimi bo’ladi.
Δ=Δ_х=Δ_у=0 ya‘ni
bo’lganda to’g’ri chiziqlar ustma-ust tushadi (sistema cheksiz ko’p echimlarga ega). Δ=0 bo’lib Δ_х, Δ_у lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lganda to’g’ri chiziqlar parallel bo’lganligi sababli ular kesishmaydi (sistema yechimga ega bo’lmaydi) ya‘ni birgalikda emas.

1-misol.
sistema yechilsin.