Çoxluqların birləşməsi və birləşmənin xassələri

Çoxluqların birləşməsi və birləşmənin xassələri

Çoxluq dedikdə müəyyən əşyalar toplusu başa düşülür. Çoxluğun elementləri adlanan bu ünsürlər çox vaxt müəyyən ümumi keyfiyyətlərə malik olur. Məsələn, kitabda olan vərəqlər çoxluğu, hər hansı tənliyin kökləri çoxluğu və i. a. Çoxluq o zaman verilmiş hesab olunur ki, hər hansı elementin ona daxil olub-olmadığını müəyyən etmək mümkün olsun. Əgər çoxluğu əmələ gətirən elementlər sonlu sayda olarsa, belə çoxluq sonlu, əks halda isə sonsuz çoxluq adlanır. İki çoxluq yalnız və yalnız o zaman bərabər hesab olunur ki, onlar eyni elementlərdən ibarət olsunlar. Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur. Çoxluq nəzəriyyəsində {\displaystyle a\in A}a€A münasibəti o deməkdir ki, {\displaystyle a} {\displaystyle A}a A çoxluğunun elementidir.

Çoxluq adətən böyük latın hərfləri ilə işarə edilir: {\displaystyle A,B,C}A B C və i. a. Çoxluğun elementləri isə kiçik latın hərfləri ilə ışarə olunur. Çoxluqlar öz elementləri ilə birqiymətli təyin olunur. Sonlu çoxluqlar bilavasitə elementlərin sadalanması yolu ilə verilə bilər. Bu elementlər fiqurlu mötərizə içərisində yazılır. Məsələn, {\displaystyle A=\{1,2,3\}}A={1,2,3}  yazılışı üç elementdən təşkil olunmuş çoxluğu göstərir. Bəzən sonsuz çoxluqları da elementlərin bir hissəsini sadalamaqla vermək mümkün olur. Bu o zaman edilir, elementlərin düzülüş sırasına əsasən və ya digər üsulla çoxluğun bütün elementləri müəyyən oluna bilsin. Məsələn, natural ədədlər çoxluğunu {1,2,3....}  {\displaystyle \{1,2,3,...\}} şəklində, tam ədədlər çoxluğunu isə {-1, -2 ,0, 1,2,3....}  {\displaystyle \{1,2,3,...\}} {\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}} şəklində göstərmək olar.

Çoxluq o zaman verilmiş hesab edilir ki, istənilən elementin bu çoxluğa daxil olub və ya olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olsun. Elementlərinin sayının sonlu və ya sonsuz olmasından asılı olaraq çoxluqları sonlu və ya sonsuz çoxluqlara ayırırlar. Sonlu çoxluğu işarə edərkən onun elementlərini mötərizə daxilində “{” və “}” göstərirlər. Məsələn, A = {a,b,g }. Sonsuz çoxluğu işarə edərkən onun bütün elementlərinin elə xassəsi göstərilir ki, verilmiş elementin həmin çoxluğa daxil olub-olmadığını birqiymətli söyləmək mümkün olur, yəni çoxluğun elementlərinin mühüm və ümumi xarakteristik xassələri ğöstərilir. Məsələn: A = {x € N ∕x : 3}-yəni 3-ə bölünən natural ədədlər çoxluğu. Ola bilər ki, çoxluğun heç bir elementi olmasın. Heç bir elementi olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır

A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bü­tün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların bir­ləşməsi de­­yi­lir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həmdə B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bü­tün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların bir­ləşməsi de­­yi­lir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}

Çoxluqların birləşməsinin xassələri ;

1. 
   Kommutativlik xassəsi:
   

İxtiyari iki A və B çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

A U B = B U A

2. 
   Assosiativlik xassəsi: İxtiyari A, B və C çoxluqları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur: (A U B) U C = A U (B U C)
   

3. 
   B € A olduqda A U B = A.