Dekart koordinatalar sistemasi va sferik koordinatalari sistemasi orasidagi bog‘lanish

Dekart koordinatalar sistemasi va sferik koordinatalari sistemasi orasidagi bog‘lanish
Suyarov T.R¹, Bozorova D. A² .
¹Buxoro Davlat Universiteti; [e-mail]
²Buxoro Davlat Universiteti; [e-mail]
Annotatsiya. Ushbu maqolada sferik koordinatalar sistemasining ayrim qo’llanishlari bayon etilgan. Xususan, sfera tenglamasi, koordinata tekisliklari tenglamalari keltirilgan, hamda uch karrali integralni hisoblashda sferik koordinatalardan foydalanishga oid misol yechib ko’rsatilgan.
Kalit so’zlar. sferik koordinatalar sistemasi, uch karrali integral, yakobian.
Fazoning berilgan nuqtasidan bir xil masofada yotgan nuqtalari to‘plami sfera deyiladi. Berilgan nuqta sferaning markazi, markazdan sferaning biror (yoki ixtiyoriy) nuqtasigacha bo‘lgan masofa sferaning radiusi deyiladi.
Dekart koordinatalari sistemasi va sferik koordinatali sistemasi orasidagi bog’lanish.

1-rasm
Fazoda dekart koordinatalari sistemasi kiritilgan bo’lsin. Markazi koordinata boshida (ya’ni nuqtada ) bo’lgan radiusli sferani qaraylik (1-rasmga qarang). Ma’lumki, bu sferning nuqtalari
(1)
tenglama bilan aniqlanadi. Sferadagi biror (ixtiyoriy ravishda tanlangan) A nuqtaning tekisligiga proyeksiyasi nuqta bo’lsin. kesma o’qi bilan φ burchak hosil qilsin. OA va OA’ kesmalar orasidagi burchak esa Ψ bo’lsin. U holda chizmadan A nuqtaning X_A, Y_A va Z_A koordinatalari va R_A, φ_A, ψ_A kattaliklari orasida
X_A=R_A Y_A=R_A , Z_A=R_A
Bog’lanishlar mavjudligini ko’rish mumkin. Sin va cos funksiyalari davriy bo’lgani uchun bu bog’lanishlar o’zaro bir qiymatli bo’la olmaydi. O’zaro bir qiymatlilikni saqlash maqsadida 0≤φ<2π, - ≤Ψ≤ cheklovlar kiritiladi. A nuqta ixtiyoriy ekanligidan qaraloyotgan sferadagi har qanday ( x, y, z) koordinatali nuqta
x=R , y=R , z=R , (2)
va ushbu 0≤φ<2π, - ≤Ψ≤ munosabatlarni qanoatlantiradi.
Hosil qilingan {O, R, φ, Ψ } Sistema fazosi sferik koordinatalar sistemasi deyiladi. Bunda (2) munosabatlar sferik koordinatalar R, φ, Ψ dan Dekart koordinatalar X, Y, Z ga o’tish formulalari deb yuritiladi.
{O, R, φ, Ψ } koordinatalar sfera orqali kiritilgani uchun sferik koordinatalar sistemasi deb yuritiladi.
Shuni alohida ta’kidlash joizki, R=0 bo’lganda φ va Ψ kattaliklarning har qanday qiymatida ham yagona O nuqta hosil bo’laveradi. Shuning uchun odatda R>0 qiymatlar qaraladi.
Endi Oxyz fazodagi X, Y, Z koordinatalar bilan berilgan nuqtaning R, φ, Ψ sferik koordinatalarni topamiz.
Chizmadan ko’rinadiki,
R= ,
φ =arccos , yoki φ =arcsin (3)
Ψ=arcsin , yoki Ψ=arcsin ,
munosbatlar Dekart koordinatali sistemasidan sferik koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari deb yuritiladi.
Ayrim fazoviy figuralarning sferik koordinatalar sistemasidagi tenglamalarini keltiramiz.
1.Markazi koordinatalar boshida radiusi R₀ ga teng sfera tenglamasi:
R=R₀
2. x=0 ekislik (ya’ni, Oyz koordinata tekisligi) tenglamasi:
φ= φ= .
3. y=0 tekislik tenglamasi ( ya’ni Oxz koordinata tekisligi) tenglamasi:
φ =0 φ= .
4. z=0 tekislik (ya’ni Oxy koordinaa ekisligi) tenglamasi:
Ψ= .
ADABIYOTLAR
1. А.А. Заитов. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие. – Ташкент: «Zuxra baraka biznes.” – 123 с.
2. А. А. Заитов. Элементы дифференциального исчисления. Учебное пособие. – Ташкент: изд-во ТГПУ. – 131 с.
3. A. A. Zaitov, A. Ya. Ishmetov. Matematika 1. O‘quv qo‘llanma. – Toshkent: “Zuxra baraka biznes” – 225 bet.
4. D. U. Bozarov. (2022). Determinantlar mavzusini mustaqil oqishga doir misollar. Fizika-matematika fanlari jurnali, 3(1).
5. D. U. Bozarov. Matritsalar mavzusini mustaqil o‘zlashtirishga doir misollar //Муғаллим ҳам узликсиз билимлендириў. – 2022. – Т. 3. – №. 3.
8. Bozarov D. U. Chiziqli va kvadratik modellashtirish mavzusini mustaqil o’rganishga doir misollar //Eurasian journal of mathematical theory and computer sciences. – 2022. – Т. 2. – №. 6. – С. 24-28.